Regions d'integració no rectangulars

Primer, cal escriure els límits d'integració a la integral.

En aquest cas, es tracta d'una integral en una regió amb seccions transversals horitzontals, llavors tenim que la integral és: $$\int_R f(x,y) \ dxdy = \int_a^b \Big(\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) \ dy \Big) \ dx=\int_0^1\int_0^x e^x\cdot y \ dydx$$ on per a un $x$ determinat, la variable $y$ es mou entre $0$ i la recta $y = x$, que és la recta que passa pels punts $(0,0)$ i $(1,1)$.

Llavors, $h (x) =x$, $g (x) =0$.

Calculem la integral: $$int_0^1\int_0^x e^x\cdot y \ dydx=int_0^1 e^x\Big(\int_0^x y\cdot dy \Big)\cdot dx=int_0^1 e^x\cdot\dfrac{x^2}{2} \ dx=$$ $$=\dfrac{1}{2}\int_0^1 e^x\cdot x^2 \ dx=$$ $$=\mbox{resolent per parts dues vegades}=$$ $$=\dfrac{1}{2}[e^x(x^2-2x+2)]_0^1=\dfrac{e}{2}$$