Regiones de integración no rectangulares
Calcular la integral de la función $f(x)$, $f(x,y)=y \cdot e^y$ sobre el triángulo de vértices $(0,0)$, $(1,0)$ y $(1,1)$.
Primero, debemos escribir los límites de integración en la integral.
En este caso, se trata de una integral en una región con secciones transversales horizontales, entonces tenemos que la integral es: $$\int_R f(x,y) \ dxdy = \int_a^b \Big(\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y) \ dy \Big) \ dx=\int_0^1\int_0^x e^x\cdot y \ dydx$$ donde para un $x$ determinado, la variable $y$ se mueve entre $0$ y la recta $y=x$, que es la recta que pasa por los puntos $(0,0)$ y $(1,1)$.
Entonces, $h (x) =x$, $g (x) =0$.
Calculamos la integral: $$int_0^1\int_0^x e^x\cdot y \ dydx=int_0^1 e^x\Big(\int_0^x y\cdot dy \Big)\cdot dx=int_0^1 e^x\cdot\dfrac{x^2}{2} \ dx=$$ $$=\dfrac{1}{2}\int_0^1 e^x\cdot x^2 \ dx=$$ $$=\mbox{resolviendo por partes 2 veces}=$$ $$=\dfrac{1}{2}[e^x(x^2-2x+2)]_0^1=\dfrac{e}{2}$$
$$\displaystyle \int_R f(x,y) \ dxdy=\dfrac{e}{2}$$