Interpretació geomètrica del producte escalar
Calcula un vector $\vec{v}$ que sigui ortogonal (perpendicular) al vector $\vec{u}=(2,-4)$ i tingui mòdul igual a $3$. Trobeu també la projecció ortogonal de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$.
Volem trobar un vector $\vec{v}=(v_1,v_2)$ tal que el seu mòdul sigui $3$, és a dir, $$ |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=3 \Rightarrow |\vec{v}|=v_1^2+v_2^2=9$$
i que $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ (imposem perpendicularitat): $$ u_1 v_1+u_ 2 v_2=0 \Rightarrow 2v_1+(-4)v_2=0 \Rightarrow v_1=2v_2$$
Substituint $v_1=2v_2$ a la primera igualtat, obtenim: $$ 4v_2^2+v_2^2=5v_2^2=9 \Rightarrow v_2^2=\dfrac{9}{5} \Rightarrow v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}, \ v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$$
Per obtenir la projecció ortogonal desitjada fem servir la fórmula: $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})$. En el nostre cas tenim que:
$$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}= \dfrac{2\cdot\dfrac{6}{\sqrt{5}}+(-4)\cdot\dfrac{3}{\sqrt{5}}}{3}= \dfrac{\dfrac{12}{\sqrt{5}}-\dfrac{12}{\sqrt{5}}}{3}=0$$
També podríem haver pensat que ja que els vectors en qüestió són perpendiculars, està clar que la seva projecció serà zero.
$v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ i $v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \quad$ $\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=0$