Interpretació geomètrica del producte escalar

El producte de dos vectors no nuls és igual al mòdul d'un d'ells per la projecció de l'altre sobre ell.

En el dibuix, $OA'$ és la projecció del vector $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$. Si ens fixem en el triangle $OAA'$ i apliquem la fórmula del cosinus, obtenim:

$$\cos(\alpha)=\dfrac{OA'}{|\vec{u}|} \Rightarrow |OA'| = |\vec{u}|\cdot \cos(\alpha) $$

Finalment, aplicant a la fórmula del producte escalar el que hem trobat obtenim: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\alpha)=|\vec{u}|\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})$$

Trobar la projecció del vector $\vec{u}=(2,3)$ sobre el $\vec{v}=(-1,4)$. $$\text{proj}_{\vec{v}}(\vec{u})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}= \dfrac{2\cdot (-1)+3\cdot 4}{\sqrt{(-1)^2+4^2}}=\dfrac{10}{\sqrt{17}}$$