Interpretación geométrica del producto escalar
Calcula un vector $\vec{v}$ que sea ortogonal (perpendicular) al vector $\vec{u}=(2,-4)$ y tenga módulo igual a $3$. Hallar la proyección ortogonal de $\vec{u}$ sobre $\vec{v}$.
Queremos hallar un vector $\vec{v}=(v_1,v_2)$ tal que su módulo sea $3$, es decir, $$ |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=3 \Rightarrow |\vec{v}|=v_1^2+v_2^2=9$$
y que $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ (imponemos perpendicularidad): $$ u_1 v_1+u_ 2 v_2=0 \Rightarrow 2v_1+(-4)v_2=0 \Rightarrow v_1=2v_2$$
Sustituyendo $v_1=2v_2$ en la primera igualdad, obtenemos: $$ 4v_2^2+v_2^2=5v_2^2=9 \Rightarrow v_2^2=\dfrac{9}{5} \Rightarrow v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}, \ v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$$
Para obtener la proyección ortogonal deseada usamos la fórmula: $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{v}|\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u})$. En nuestro caso tenemos que:
$$\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}= \dfrac{2\cdot\dfrac{6}{\sqrt{5}}+(-4)\cdot\dfrac{3}{\sqrt{5}}}{3}= \dfrac{\dfrac{12}{\sqrt{5}}-\dfrac{12}{\sqrt{5}}}{3}=0$$
También podríamos haber pensado que puesto que los vectores en cuestión son perpendiculares, está claro que su proyección será cero.
$v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ y $v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}} \quad$ $\text{proy}_{\vec{v}}(\vec{u})=0$