Definició, expressió analítica i propietats del producte escalar

Utilitzem l'expressió analítica del producte escalar: $\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2$.

• $\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2= 1\cdot3+(-2)\cdot 2=-1$
• $\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=1\cdot0+0\cdot(-2)=0$
• $\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=(-1)\cdot3+2\cdot0=-3$

Volem trobar un vector $\vec{v}=(v_1,v_2)$ tal que $\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=0$, ja que és la condició de perpendicularitat que coneixem. Per tant, tenim: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot v_1+(-4)\cdot v_2=0 \Rightarrow v_1=-2v_2$$

Per tant, qualsevol vector que la seva primera component sigui el doble de la segona component en negatiu servirà. Per exemple $\vec{v}=(v_1,v_2)=(-2,1)$. Donant qualsevol valor a $v_1$ n'obtenim un per $v_2$. Altres exemples serien:

$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-4,2)$

$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-6,3)$

$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-1,\dfrac{1}{2})$

Utilitzem la definició del producte escalar: $\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$

• En aquest cas si $|\vec{u}|=3$, $|\vec{v}|=2$ i $\text{ang}(\widehat{uv})=60^\circ$ el cosinus de $60^\circ$ és $\dfrac{1}{2}$. Així, $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=3\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}=3$$
• En aquest cas si $|\vec{u}|=5$, $|\vec{v}|=2$ i $\cos(\widehat{uv})=\dfrac{1}{2}$ ja ens donen el cosinus directament així que tenim: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=5\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}=5$$
• En aquest cas si $|\vec{u}|=1$, $|\vec{v}|=3$ i $\text{ang}(\widehat{uv})=30^\circ$ el cosinus de $30^\circ$ és $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Així, $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=1\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$