Definició, expressió analítica i propietats del producte escalar
El producte escalar entre dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$, que es representa com $\vec{u}\cdot\vec{v}$, és un nombre real que s'obté multiplicant el mòdul de $\vec{u}$ pel mòdul de $\vec{v}$ i pel cosinus de l'angle que formen $\vec{u}$ i $\vec{v}$. $$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$$
De la definició de producte escalar es dedueix que:
- Si $\vec{u}=\vec{0}$ o $\vec{v}=\vec{0}$, llavors $\vec{u}\cdot\vec{v}= 0$.
- Si els vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars entre ells, $\cos(\widehat{uv})=\cos(90^\circ)=0$, de manera que $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
Si $\vec{u}=(0,2)$, $\vec{v}=(3,3)$ i $\widehat{uv}={45^\circ}$:
$$\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(45^\circ)= 2\cdot\sqrt{18}\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{36}=6$$
Si $|\vec{u}|=3$, $|\vec{v}|=2$ i a més $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$. Quin angle formen $\vec{u}$ i $\vec{v}$?
Com que la fórmula del producte escalar és $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$, substituint les dades que ens dóna l'enunciat, obtenim que: $$\cos(\widehat{uv})=0 \Rightarrow \widehat{uv}=90^\circ $$
Aquests dos vectors són perpendiculars.
Expressió analítica del producte escalar:
Donats $\vec{u}=(u_1,u_2)$ i $\vec{v}=(v_1,v_2)$, el seu producte escalar es pot escriure com: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1 v_1+u_2 v_2$$
Si $\vec{u}=(3,1)$ i $\vec{v}=(2,-1)$, llavors: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot2+1\cdot(-1)=6-1=5$$
Propietats del producte escalar
- El producte escalar d'un vector per ell mateix és un nombre real major o igual a zero: $ \vec{u}\cdot\vec{u} \geqslant 0$. Si $\vec{u}\cdot\vec{u}=0$, llavors $\vec{u}=\vec{0}$.
- El producte escalar és commutatiu: $\vec{u}\cdot\vec{v}= \vec{v}\cdot\vec{u}$. Atès que si l'angle que forma $\vec{u}$ amb $\vec{v}$ és $\alpha$, l'angle que forma $\vec{v}$ amb $\vec{u}$ és $-\alpha$, i sabem que $\cos(-\alpha)=cos(\alpha)$.
- El producte escalar és pseudoassociatiu: $\alpha(\vec{u}\cdot\vec{v})= (\alpha\vec{u})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(\alpha\vec{v})$ on $\alpha$ és un nombre real.
- El producte escalar és distributiu respecte la suma de vectors: $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$.