Definición, expresión analítica y propiedades del producto escalar
Determina el producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$:
- $\vec{u}=(1,2)$, $\ \vec{v}=(3,-2)$
- $\vec{u}=(1,0)$, $\ \vec{v}=(0,-2)$
- $\vec{u}=(-1,2)$, $\ \vec{v}=(3,0)$
Usamos la expresión analítica del producto escalar: $\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2$.
- $\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2= 1\cdot3+(-2)\cdot 2=-1$
- $\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=1\cdot0+0\cdot(-2)=0$
- $\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=(-1)\cdot3+2\cdot0=-3$
- $\vec{u}\cdot\vec{v}=-1$
- $\vec{u}\cdot\vec{v}= 0$
- $\vec{u}\cdot\vec{v}= -3$
Calcula un vector $\vec{v}$ que sea ortogonal que sea ortogonal (perpendicular) al vector $\vec{u}=(2,-4)$.
Queremos hallar un vector $\vec{v}=(v_1,v_2)$ tal que $\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=0$, ya que es la condición de perpendicularidad que conocemos. Por lo tanto, tenemos: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=2\cdot v_1+(-4)\cdot v_2=0 \Rightarrow v_1=-2v_2$$
De manera que cualquier vector que su primera componente sea el doble de la segunda componente en negativo servirá. Por ejemplo $\vec{v}=(v_1,v_2)=(-2,1)$. Dando cualquier valor a $v_1$ obtenemos $v_2$. Otros ejemplos serían:
$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-4,2)$
$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-6,3)$
$\vec{v}=(v_1,v_2)=(-1,\dfrac{1}{2})$
Cualquier vector que su primera componente sea el doble de la segunda componente en negativo servirá.
Determina el producto escalar de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ conociendo:
- $|\vec{u}|=3$, $\ |\vec{v}|=2$, $\text{ang}(\widehat{uv})=60^\circ$
- $|\vec{u}|=5$, $\ |\vec{v}|=2$, $\cos(\widehat{uv})=\dfrac{1}{2}$
- $|\vec{u}|=1$, $\ |\vec{v}|=3$, $\text{ang}(\widehat{uv})=30^\circ$
Usamos la definición del producto escalar: $\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$
- En este caso si $|\vec{u}|=3$, $|\vec{v}|=2$ y $\text{ang}(\widehat{uv})=60^\circ$ el coseno de $60^\circ$ es $\dfrac{1}{2}$. Así pues, $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=3\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}=3$$
- En este caso si $|\vec{u}|=5$, $|\vec{v}|=2$ y $\cos(\widehat{uv})=\dfrac{1}{2}$ ya nos dan el coseno directamente así que tenemos: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=5\cdot2\cdot\dfrac{1}{2}=5$$
- En este caso si $|\vec{u}|=1$, $|\vec{v}|=3$ y $\text{ang}(\widehat{uv})=30^\circ$ el coseno de $30^\circ$ es $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Así, $$\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})=1\cdot3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=3\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
- $ \vec{u}\cdot\vec{v}= 3$
- $ \vec{u}\cdot\vec{v}=5$
- $ \vec{u}\cdot\vec{v}= 3\dfrac{\sqrt{3}}{2}$