Aplicacions del producte escalar

• Utilitzem l'expressió analítica del producte escalar: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=1\cdot3+(-2)\cdot2=-1$$
• Utilitzem la fórmula del producte escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$, de manera que obtenim: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot4\cdot\cos(60^\circ)=12\cdot\dfrac{1}{2}=6$$
• Utilitzem la fórmula del producte escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$, per poder-la aplicar necessitem calcular el mòdul dels vectors, així doncs: $$|\vec{u}|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5} \qquad |\vec{v}|=\sqrt{3^2}=3$$ Llavors obtenim: $$\text{ang}(\vec{u},\vec{v})= \arccos\Big(\dfrac{-1\cdot3+2\cdot2}{\sqrt{5}\cdot3}\Big) =\arccos\Big(\dfrac{-3}{3\sqrt{5}}\Big)$$ $$=\arccos\Big( \dfrac{-1}{\sqrt{5}}\Big)=116^\circ 33' 54''$$

Volem trobar un vector $\vec{v}=(v_1,v_2)$ tal que el seu mòdul sigui $3$, és a dir, $$ |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=3 \Rightarrow |\vec{v}|=v_1^2+v_2^2=9$$

i que $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ (imposem perpendicularitat): $$ u_1 v_1+u_ 2 v_2=0 \Rightarrow 2v_1+(-4)v_2=0 \Rightarrow v_1=2v_2$$

Substituint $v_1=2v_2$ a la primera igualtat, obtenim: $$ 4v_2^2+v_2^2=5v_2^2=9 \Rightarrow v_2^2=\dfrac{9}{5} \Rightarrow v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}, \ v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$$

• Si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són paral·lels, les seves coordenades han de ser proporcionals, de manera que es compleixi: $$\dfrac{x}{3}=\dfrac{2}{1}\Rightarrow x=6$$
• Si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són perpendiculars el seu producte escalar haurà de ser igual a zero: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=3x+2=0 \Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}$$
• Si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ formen un angle de $45^\circ$, haurà de complir que: $$\cos{\widehat{uv}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ I per la fórmula del producte escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos{\widehat{uv}}$, aïllant el cosinus obtenim: $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos(\widehat{uv})= \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}= \dfrac{3x+2}{\sqrt{x^2+4}\sqrt{10}}$$ multiplicant en creu el trencat inicial i final, dóna lloc a: $$\sqrt{x^2+4}\cdot\sqrt{20}=6x+4$$ elevant al quadrat cada costat de la igualtat: $$\begin{array}{rcl} 20(x^2+4) &=& (6x+4)^2 \\ 20x^2+80 &=& 36x^2+48x+16 \end{array}$$ $$16x^2+48x-64 =0$$ Equació de segon grau, que té com solucions: $x=-4$ i $x=1$. Comprovem si les solucions són vàlides:

Primer valor: $\vec{u}=(-4,2)$, $\vec{v}=(3,1)$ $$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{-12+2}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{10}}= \dfrac{-10}{\sqrt{200}}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$$ No és vàlid.

Segon valor: $\vec{u}=(1,2)$, $\vec{v}=(3,1)$ $$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{3+2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}= \dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ Sí que és vàlid.

La presència de solucions no vàlides es deu al fet de l'equació irracional, que per a resoldre-la hem hagut de elevar al quadrat els dos membres de la igualtat. Sempre que fem aquesta operació hem de comprovar al final si les solucions trobades són vàlides o no.