Aplicaciones del producto escalar

• Usamos la expresión analítica del producto escalar: $$\vec{u}\cdot\vec{v}= u_1 v_1+u_ 2 v_2=1\cdot3+(-2)\cdot2=-1$$
• Usamos la fórmula del producto escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$, de manera que obtenemos: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot4\cdot\cos(60^\circ)=12\cdot\dfrac{1}{2}=6$$
• Usaremos la fórmula del producto escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}= |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\widehat{uv})$, para poderla aplicar necesitamos calcular el módulo de los vectores, así pues: $$|\vec{u}|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5} \qquad |\vec{v}|=\sqrt{3^2}=3$$ Entonces obtenemos: $$\text{ang}(\vec{u},\vec{v})= \arccos\Big(\dfrac{-1\cdot3+2\cdot2}{\sqrt{5}\cdot3}\Big) =\arccos\Big(\dfrac{-3}{3\sqrt{5}}\Big)$$ $$=\arccos\Big( \dfrac{-1}{\sqrt{5}}\Big)=116^\circ 33' 54''$$

Queremos hallar un vector $\vec{v}=(v_1,v_2)$ tal que su módulo sea $3$, es decir, $$ |\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}=3 \Rightarrow |\vec{v}|=v_1^2+v_2^2=9$$

y que $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ (imponemos perpendicularidad): $$ u_1 v_1+u_ 2 v_2=0 \Rightarrow 2v_1+(-4)v_2=0 \Rightarrow v_1=2v_2$$

Sustituyendo $v_1=2v_2$ en la primera igualdad, obtenemos: $$ 4v_2^2+v_2^2=5v_2^2=9 \Rightarrow v_2^2=\dfrac{9}{5} \Rightarrow v_2=\dfrac{3}{\sqrt{5}}, \ v_1=\dfrac{6}{\sqrt{5}}$$

• Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son paralelos sus coordenadas han de ser proporcionales, de manera que se cumpla: $$\dfrac{x}{3}=\dfrac{2}{1}\Rightarrow x=6$$
• Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares su producto escalar tendrá que ser igual a cero: $$\vec{u}\cdot\vec{v}=3x+2=0 \Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}$$
• Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ forman un ángulo de $45^\circ$, tendrá que cumplirse que: $$\cos{\widehat{uv}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ Y por la fórmula del producto escalar $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos{\widehat{uv}}$, despejando el coseno obtenemos: $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\cos(\widehat{uv})= \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}= \dfrac{3x+2}{\sqrt{x^2+4}\sqrt{10}}$$ multiplicando en cruz el quebrado inicial y final, da lugar a: $$\sqrt{x^2+4}\cdot\sqrt{20}=6x+4$$ elevando al cuadrado cada lado de la igualdad: $$\begin{array}{rcl} 20(x^2+4) &=& (6x+4)^2 \\ 20x^2+80 &=& 36x^2+48x+16 \end{array}$$ $$16x^2+48x-64 =0$$ Ecuación de segundo grado, que tiene como soluciones: $x=-4$ y $x=1$. Comprobamos si las soluciones son válidas:

Primer valor: $\vec{u}=(-4,2)$, $\vec{v}=(3,1)$ $$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{-12+2}{\sqrt{20}\cdot\sqrt{10}}= \dfrac{-10}{\sqrt{200}}=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}$$ No es válido.

Segundo valor: $\vec{u}=(1,2)$, $\vec{v}=(3,1)$ $$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{3+2}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}= \dfrac{5}{\sqrt{50}}=\dfrac{5}{5\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ Sí es válido.

La presencia de soluciones no válidas se debe al hecho de la ecuación irracional, que para resolverla hemos tenido que elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad. Siempre que hagamos esta operación debemos comprobar al final si las soluciones halladas son válidas o no.