Aplicacions del producte escalar
- Mòdul d'un vector.
El producte escalar es pot usar per a determinar el mòdul d'un vector $\vec{u}$. Ja que: $$\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}||\vec{u}|\cos(\widehat{uu})=|\vec{u}|^2$$
d'on: $\vec{u}=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}$
De manera que obtenim, usant les coordenades del vector $\vec{u}=(u_1,u_2)$, $$\vec{u}=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$
Per $\vec{u}=(3,4)$, hem de fer $$|\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$$
- Angle entre els vectors.
De la definició del producte escalar $\vec{u}\cdot\vec{u}=|\vec{u}||\vec{u}|\cos(\widehat{uu})$ podem aïllar el cosinus de l'angle que formen els dos vectors: $$\cos(\widehat{uv})=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$
Aplicant la funció arcsinus a cada costat de la igualtat obtenim (ang = angle): $$\text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\arccos\Big(\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}\Big)$$
De manera que si tenim dos vectors mitjançant les seves coordenades $\vec{u}=(u_1,u_2)$ i $\vec{v}=(v_1,v_2)$ tenim que:
$$\text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\text{ang}(\vec{v},\vec{u})=\arccos\Big(\dfrac{u_1 v_1+u_2 v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\Big)$$
Trobar l'angle format per $\vec{u}=(2,3)$ i $\vec{v}=(-1,4)$. En aquest cas, aplicant la fórmula anterior obtenim: $$\text{ang}(\vec{u},\vec{v})=\arccos\Big(\dfrac{2\cdot(-1)+3\cdot4} {\sqrt{2^2+3^2}\cdot\sqrt{(-1)^2+4^2}}\Big)= \arccos(0.67267)= 47^\circ43'35''$$