Raons trigonomètriques d'altres angles
Digues si les següents igualtats són certes:
$\sin(75^\circ)=\sin(105^\circ)$
$\tan(220^\circ)=-\tan(40^\circ)$
$\cos(350^\circ)=-\cos(170^\circ)$
$75^\circ$ i $105 ^\circ$ són angles suplementaris, ja que $75^\circ+105 ^\circ=180^\circ$. Com els sinus d' angles suplementaris són iguals, la igualtat és certa.
$220^\circ$ i $40^\circ$ es diferencien en $180^\circ$, perquè $220^\circ-40^\circ=180^\circ$. Els angles que es diferencien en $180^\circ$ tenen la mateixa tangent, per tant la igualtat és falsa.
$350^\circ$ i $170^\circ$ es diferencien en $180^\circ$, ja que $350^\circ-170^\circ =180^\circ $. Els cosinus d' angles que es diferencien en $180^\circ$ tenen cosinus iguals, però amb diferent signe. És a dir: $\cos(350^\circ)=-\cos(170^\circ)$, i per tant la igualtat és certa.
- La igualtat és certa.
- La igualtat és falsa.
- La igualtat és certa.
Són certes les següents igualtats o afirmacions?
a) $\sin(45^\circ)=-\sin(315^\circ)$
b) Els angles $80^\circ$ i $100^\circ$ són oposats.
c) $\tan(-17^\circ)=\tan(17^\circ)$
d) $\cos(450^\circ)=\cos(90^\circ)$
a) Els angles $45^\circ$ i $315^\circ$ són oposats, ja que $45^\circ+315^\circ=360^\circ$. Com el sinus de dos angles oposats són iguals però amb diferent signe, $\sin(45^\circ)= -\sin(315^\circ)$. És a dir, la igualtat és certa.
b) Els angles $80^\circ$ i $100^\circ$ sumen: $ 80^\circ+ 100^\circ =180^\circ$. Per tant no són oposats, ja que no sumen $360^\circ$. De fet, són suplementaris.
c) La tangent d'un angle negatiu és la mateixa que la de l'angle positiu, però amb signe contrari. En aquest cas vol dir que: $\tan(-17^\circ)=-\tan(17^\circ)$. Per tant, la igualtat de l'enunciat és falsa.
d) Si es divideix $450^\circ$ per $360^\circ$, dóna resta $90^\circ$. Per tant, els cosinus dels dos angles són el mateix: $\cos(450^\circ)=\cos(90^\circ)$. La igualtat és, doncs, certa.
a) La igualtat és certa.
b) L'afirmació és falsa.
c) La igualtat és falsa.
d) La igualtat és certa.
Són certes les següents igualtats?
a) $\tan(37^\circ)=-\cot(233^\circ)$
b) $\cos(400^\circ)=-\cos(130^\circ)$
c) $\cos(230^\circ)=-\sin(140^\circ)$
a) $37^\circ$ i $233^\circ$ sumen $270^\circ$: $$37^\circ+233^\circ=270^\circ$$
Per tant, es compleix que: $\tan(37^\circ)=\cot(233^\circ)$ (i no amb un menys). Per tant la igualtat és falsa.
b) Els angles $400^\circ$ i $130^\circ$ es diferencien en $270^\circ$: $$400^\circ-130^\circ=270^\circ$$
Per tant sabem que: $\cos(400^\circ)=\sin(130^\circ)$, de manera que la igualtat és falsa.
c) Els angles $230^\circ$ i $140^\circ$ es diferencien en $90^\circ$, ja que $$230^\circ-140^\circ=90^\circ$$
I per tant es té: $\cos(230^\circ)=-\sin(140^\circ)$. És a dir, la igualtat és certa.
a) La igualtat és falsa.
b) La igualtat és falsa.
c) La igualtat és certa.