Raons trigonomètriques d'altres angles

Angles Suplementaris

Dos angles s'anomenen suplementaris si sumen $180^\circ$.

$140^\circ$ i $40^\circ$ són angles suplementaris ja que: $$140^\circ+ 40^\circ=180^\circ $$

El sinus, cosinus i tangent dels angles suplementaris tenen certa relació. Si $\alpha$ i $\beta$ són dos angles suplementaris llavors:

• $\sin(\alpha)=\sin(\beta)$

• $\cos(\alpha)=-\cos(\beta)$

• $\tan(\alpha)=-\tan(\beta)$

És a dir, els sinus són iguals, i el cosinus i la tangent canvien de signe.

En l'exemple anterior, doncs, tenim que:

• $\sin(40^\circ)=\sin(140^\circ)$

• $\cos(40^\circ)=-\cos(140^\circ)$

• $\tan(40^\circ)=-\tan(140^\circ)$

Angles que es diferencien en $180^\circ$

Dos angles $\alpha$ i $\beta$ es diferencien en $180^\circ$ si $\alpha-\beta=180^\circ$.

$240^\circ$ i $60^\circ$ es diferencien en $180^\circ$, ja que : $$240^\circ-60^\circ=180^\circ$$

El sinus, cosinus i tangent de dos angles que es diferencien en $180^\circ$ també estan relacionats. Si $\alpha$ i $\beta$ es diferencien en $180^\circ$, aleshores:

• $\sin(\alpha)=-\sin(\beta)$

• $\cos(\alpha)=-\cos(\beta)$

• $\tan(\alpha)=\tan(\beta)$

És a dir, el sinus i el cosinus canvien de signe, però la tangent és la mateixa en els dos angles.

En l'exemple anterior:

• $\sin(240^\circ)=-\sin(60^\circ)$

• $\cos(240^\circ)=-\cos(60^\circ)$

• $\tan(240^\circ)=\tan(60^\circ)$

Angles oposats

Dos angles s'anomenen oposats si sumen $360^\circ$. És a dir, $\alpha$ i $\beta$ són oposats si $\alpha+\beta=360^\circ$.

$330^\circ$ i $30^\circ$ són oposats, ja que $$330^\circ+30^\circ=360^\circ$$

Els sinus, cosinus i tangents de angles oposats estan relacionats d'una forma similar de com es va veure amb els angles suplementaris o els que es diferencien en $180^\circ$. Així, si $\alpha$ i $\beta$ són angles oposats es compleix sempre que:

• $\sin(\alpha)=-\sin(\beta)$

• $\cos(\alpha)=\cos(\beta)$

• $\tan(\alpha)=-\tan(\beta)$

És a dir, el sinus i la tangent són el mateix però amb diferent signe, i el cosinus és exactament el mateix.

En l'exemple anterior es té:

• $\sin(330^\circ)=-\sin(30^\circ)$

• $\cos(330^\circ)=\cos(30^\circ)$

• $\tan(330^\circ)=-\tan(30^\circ)$

Angles negatius

Un angle és negatiu si va en direcció contrària a les agulles del rellotge, i es simbolitza amb un menys davant.

Si es fa un angle de $30^\circ$, però en comptes d'anar cap amunt es va cap avall, es diu que l'angle és de $-30^\circ$.

La següent il·lustració mostra l'angle negatiu $-30^\circ$:

Si $\alpha$ és un angle, llavors és tenen les següents igualtats:

• $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$

• $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$

• $\tan(-\alpha)=-\tan(\alpha)$

En resum, el sinus i la tangent de $\alpha$ i $-\alpha$ són el mateix però amb diferent signe, i el cosinus és exactament el mateix.

En l'exemple anterior es té:

• $\sin(-30^\circ)=-\sin(30^\circ)$

• $\cos(-30^\circ)=\cos(30^\circ)$

• $\tan(-30^\circ)=-\tan(30^\circ)$

Angles majors de $360^\circ$

Per calcular el sinus, el cosinus i la tangent de angles grans de $360^\circ$, es segueixen els següents passos:

1. Es fa la divisió entera de l'angle entre $360$. Per exemple, si l'angle és $780^\circ$, es fa:

2. S'agafa el residu. En l'exemple anterior és $60^\circ$.

3. El sinus, el cosinus i la tangent de l'angle són el del residu que s'ha obtingut.

Tornant a l'exemple anterior, es té:

• $\sin(780^\circ)=\sin(660^\circ)$

• $\cos(780^\circ)=\cos(60^\circ)$

• $\tan(780^\circ)=\tan(60^\circ)$

Angles que es diferencien en $90^\circ$

Dos angles es diferencien en $90^\circ$ si el resultat de restar és $90^\circ$.

Per exemple $160^\circ$ i $70^\circ$, ja que: $160^\circ- 70^\circ= 90^\circ$. La següent il·lustració ho mostra més clarament:

Les raons que satisfan dos angles $\alpha$ i $\beta$ si es diferencien en $90^\circ$ (és a dir, si $\alpha-\beta=90^\circ$) són:

• $\sin(\alpha)=\cos(\beta)$

• $\cos(\alpha)=-\sin(\beta)$

• $\tan(\alpha)=-\cot(\beta)$

En l'exemple anterior es té:

• $\sin(160^\circ)=\cos(70^\circ)$

• $\cos(160^\circ)=-\sin(70^\circ)$

• $\tan(160^\circ)=-\cot(70^\circ)$

Angles que sumen $270^\circ$

Dos angles $\alpha$ i $\beta$ sumen $270^\circ$ si $\alpha+\beta=270^\circ$.

Per exemple $70^\circ$ i $200^\circ$, ja que $70^\circ + 200^\circ=270^\circ$.

En aquest cas, $\alpha$ i $\beta$ satisfan les següents igualtats:

• $\sin(\alpha)=-\cos(\beta)$

• $\cos(\alpha)=-\sin(\beta)$

• $\tan(\alpha)=\cot(\beta)$

En l'exemple anterior, es té:

• $\sin(70^\circ)=-\cos(200^\circ)$

• $\cos(70^\circ)=-\sin(200^\circ)$

• $\tan(70^\circ)=\cot(200^\circ)$

Angles que es diferencien en $270^\circ$

Dos angles $\alpha$ i $\beta$ es diferencien en $270^\circ$ si a la resta s'obté exactament $270^\circ$: $\alpha-\beta= 270^\circ$.

Un exemple serien els angles $320^\circ$ i $50^\circ$, ja que $320^\circ-50^\circ=270^\circ$.

Quan dos angles $\alpha$ i $\beta$ es diferencien en $270^\circ$ es compleix que:

• $\sin(\alpha)=-\cos(\beta)$

• $\cos(\alpha)=\sin(\beta)$

• $\tan(\alpha)=-\cot(\beta)$

Si ho calculem per als angles $320^\circ$ i $50^\circ$, tenim:

• $\sin(320^\circ)=-\cos(50^\circ)$

• $\cos(320^\circ)=\sin(50^\circ)$

• $\tan(320^\circ)=-\cot(50^\circ)$