Operacions i límits entre successions
Calcula el límit de les següents successions
a) $a_n=\dfrac{(-1)^n\cdot(2n+3)}{9n^3-11n+3}$
b) $a_n=\dfrac{(-1)^nn^2+7n^3+21}{4n^3-8}$
a) La successió ve donada pel producte de les successions $a_n=(-1)^n$ i $b_n=\dfrac{(2n+3)}{9n^3-11n+3}$.
La primera està fitada i la segona té límit $0$. Aplicant el resultat presentat obtenim que el producte té límit $0$.
b) En aquest cas no podem aplicar el resultat usat a l'apartat anterior directament. Farem servir que el límit de la suma és la suma de límits. És a dir, $$\lim_{n \to \infty}{a_n}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{(-1)^nn^2}{4n^3-8}}+\lim_{n \to \infty}{\dfrac{7n^3+21}{4n^3-8}}$$
Ara podem aplicar el resultat comentat al primer límit. Ja que correspon al producte de les successions $\{(-1)^n\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $\Big\{\dfrac{7n^3+21}{4n^3-8} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}$.
Llavors el primer límit de la suma és $0$. El segon límit és $\dfrac{7}{4}$.
Així obtenim el resultat desitjat $\lim_{n \to \infty}{a_n}= \dfrac{7}{4}$.
a) El límit és $0$.
b) El límit és $\dfrac{7}{4}$.
Calcula el límit de la suma, resta, multiplicació i divisió, quan sigui possible, dels següents parells de successions:
a) $a_n=\dfrac{n^3-3}{n-6}$ i $b_n=\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}$
b) $a_n=2+3^n$ i $b_n=\dfrac{1}{5^n}$
a) El límit de les dues successions és infinit i per les regles aritmètiques definides tenim que el límit de la suma i el del producte també és infinit. Per calcular el límit de la resta i del quocient hem de resoldre la indeterminació. Per al límit de la resta: $$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-3}{n-6}-\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{(n^3-3)(3n^2+n-1)-(3n^4-7)(n-6)}{(n-6)(3n^2+n-1)}\Big)}=$$ $$=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{19n^4-n^3-9n^2+4n-39}{3n^3-5n^2-7n+6}\Big)}=\infty$$
Per al límit del quocient: $$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-3}{n-6}/\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{(n^3-3)(3n^2+n-1)}{(n-6)(3n^4-7)}\Big)}=$$ $$=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{3n^5+n^4-n^3-9n^2-3n+3}{3n^5-18n^4-7n+42}\Big)}=1$$
b) El límit de $a_n=2+3^n$ és infinit i el límit de $b_n=\dfrac{1}{5^n}$ és 0. Seguint les regles aritmètiques, el límit de la suma i resta també és infinit.
Per calcular el límit del producte: $$\lim_{n \to \infty}{(2+3^n)\cdot\dfrac{1}{5^n}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2}{5^n}}+\lim_{n \to \infty}{\dfrac{3^n}{5^n}}=0+0=0$$
Per calcular el límit del quocient: $$\lim_{n \to \infty}{(2+3^n)/\dfrac{1}{5^n}}=\lim_{n \to \infty}{2\cdot5^n}+\lim_{n \to \infty}{3^n\cdot5^n}=\infty+\infty=\infty$$
a) El límit de la suma, resta i multiplicació és infinit. El límit del quocient és $1$.
b) El límit de la suma, resta i quocient és infinit. El límit del producte és $0$.