Operaciones y límites entre sucesiones
Calcula el límite de las siguientes sucesiones;
a) $a_n=\dfrac{(-1)^n\cdot(2n+3)}{9n^3-11n+3}$
b) $a_n=\dfrac{(-1)^nn^2+7n^3+21}{4n^3-8}$
a) La sucesión viene dada por el producto de las sucesiones $a_n=(-1)^n$ y $b_n=\dfrac{(2n+3)}{9n^3-11n+3}$.
La primera está acotada y la segunda tiene límite $0$. Aplicando el resultado presentado obtenemos que el producto tiene límite $0$.
b) En este caso no podemos aplicar el resultado usado al apartado anterior directamente. Usaremos que el límite de la suma es la suma de límites. Es decir, $$\lim_{n \to \infty}{a_n}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{(-1)^nn^2}{4n^3-8}}+\lim_{n \to \infty}{\dfrac{7n^3+21}{4n^3-8}}$$
Ahora podemos aplicar el resultado comentado al primer límite. Ya que corresponde al producto de las sucesiones $\{(-1)^n\}_{n\in\mathbb{N}}$ y $\Big\{\dfrac{7n^3+21}{4n^3-8} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}$.
Entonces el primer límite de la suma es $0$. El segundo límite es $\dfrac{7}{4}$.
Así obtenemos el resultado deseado $\lim_{n \to \infty}{a_n}= \dfrac{7}{4}$.
a) El límite es $0$.
b) El límite es $\dfrac{7}{4}$.
Calcula el límite de la suma, resta, multiplicación y división, cuando sea posible, de los siguientes pares de sucesiones;
a) $a_n=\dfrac{n^3-3}{n-6}$ y $b_n=\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}$
b) $a_n=2+3^n$ y $b_n=\dfrac{1}{5^n}$
a) El límite de las dos sucesiones es infinito y por las reglas aritméticas definidas tenemos que el límite de la suma y el del producto también es infinito. Para calcular el límite de la resta y del cociente debemos resolver la indeterminación. Para el límite de la resta $$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-3}{n-6}-\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{(n^3-3)(3n^2+n-1)-(3n^4-7)(n-6)}{(n-6)(3n^2+n-1)}\Big)}=$$ $$=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{19n^4-n^3-9n^2+4n-39}{3n^3-5n^2-7n+6}\Big)}=\infty$$
Para el límite del cociente $$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-3}{n-6}/\dfrac{3n^4-7}{3n^2+n-1}}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{(n^3-3)(3n^2+n-1)}{(n-6)(3n^4-7)}\Big)}=$$ $$=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{3n^5+n^4-n^3-9n^2-3n+3}{3n^5-18n^4-7n+42}\Big)}=1$$
b) El límite de $a_n=2+3^n$ es infinito y el límite de $b_n=\dfrac{1}{5^n}$ es $0$.
Siguiendo las reglas aritméticas, el límite de la suma y resta también es infinito. Para calcular el límite del producto $$\lim_{n \to \infty}{(2+3^n)\cdot\dfrac{1}{5^n}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2}{5^n}}+\lim_{n \to \infty}{\dfrac{3^n}{5^n}}=0+0=0$$
Para calcular el límite del cociente; $$\lim_{n \to \infty}{(2+3^n)/\dfrac{1}{5^n}}=\lim_{n \to \infty}{2\cdot5^n}+\lim_{n \to \infty}{3^n\cdot5^n}=\infty+\infty=\infty$$
a) El límite de la suma, resta y multiplicación es infinito. El límite del cociente es $1$.
b) El límite de la suma, resta y cociente es infinito. El límite del producto es $0$.