Operacions i límits entre successions

Operacions entre successions

Els nombres reals ens permeten definir les operacions de suma, resta, multiplicació i divisió. Aquestes operacions poden estendre's de manera natural al conjunt de les successions. La manera d'estendre les operacions es realitza terme a terme. Vegem les definicions corresponents.

Siguin $a=\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $b=\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dues successions. Definim les següents successions: $$a+b=\{a_n+b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ $$a-b=\{a_n-b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ $$a\cdot b=\{a_n\cdot b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$

També podem definir la successió $\dfrac{a}{b}$ com $\Big\{\dfrac{a_n}{b_n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$, però en aquest cas s'ha d'exigir $b_n\neq0$ perquè la divisió estigui definida.

Vegem algun exemple perquè no quedi cap dubte.

Siguin $a=\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $b=\{\dfrac{1}{n} \}{n\in\mathbb{N}}$. Llavors, $$a+b=\Big\{n+\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\Big\{\dfrac{n^2+1}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ $$a-b=\Big\{n-\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\Big\{\dfrac{n^2-1}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ $$a\cdot b=\Big\{n\cdot\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\{1\}_{n\in\mathbb{N}}$$ $$a/b=\Big\{\dfrac{n}{1/n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\{n^2\}_{n\in\mathbb{N}}$$

Límits i operacions amb successions convergents

És natural ara preguntar-se com es comporta el límit de successions respecte de les operacions. En aquest sentit, el límit actua de la manera més senzilla possible quan les successions són convergents.

$$\lim_{n \to \infty}{(a\pm b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}\pm\lim_{n \to \infty}{b_n}$$ $$\lim_{n \to \infty}{(a\cdot b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}\cdot\lim_{n \to \infty}{b_n}$$ $$\lim_{n \to \infty}{(a/b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}/\lim_{n \to \infty}{b_n}$$

Aquesta última propietat requereix $\lim_{n \to \infty}{b_n}\neq0$.

Aquestes propietats ens permeten el càlcul de límits a través de límits ja coneguts. Més útil és encara la següent proposició: El límit del producte d'una successió fitada per una altra amb límit zero té límit zero.

Vegem un exemple d'aquesta proposició.

Considerem la successió $a_n=(-1)^n$, recordem que aquesta successió no té límit però està fitada, i la successió $b_n=\dfrac{1}{n}$, que té límit $0$. Segons la proposició anterior el producte de les dues successions té límit $0$. És a dir $$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{(-1)^n}{n}}=0$$

Límits i operacions en general

Si acceptem algunes regles aritmètiques amb l'infinit llavors podem estendre les regles anteriors a successions divergents.

Sigui $a$ un nombre real, definim les següents operacions: $$a\pm\infty=\pm\infty$$ $$\infty+\infty=\infty$$ $$-\infty-\infty=-\infty$$ $$\dfrac{a}{+\infty}=0$$ $$\infty\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot\infty=-\infty$$ $$\infty\cdot\infty=(-\infty)\cdot(-\infty)=\infty$$

Si a més a més $a > 0$ definim $a\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)\cdot a=\pm\infty$

I si $a < 0$

• $a\cdot\infty=\infty\cdot a=-\infty$
• $a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a=\infty$

Aquestes regles aritmètiques estenen les operacions entre límits de successions siguin tant convergents com divergents.

Vegem alguns exemples.

Siguin $a=\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $b=\Big\{\dfrac{2n+1}{n}\Big\}{n\in\mathbb{N}}$.

Comprovem les regles anteriors per a l'operació d'aquestes successions. Per a la suma i resta $$\lim_{n \to \infty}{\Big(n\pm\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2\pm2n\pm1}{n}\Big)}=\infty$$ $$\lim_{n \to \infty}{n}\pm\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\infty\pm2=\infty$$

Per al producte $$\lim_{n \to \infty}{\Big(n\cdot\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{(2n+1)}=\infty$$ $$\lim_{n \to \infty}{n}\cdot\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\infty\cdot2=\infty$$

Per a la divisió $\dfrac{a}{b}$ $$\lim_{n \to \infty}{\Big(n/\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{2n+1}\Big)}=\infty$$ $$\lim_{n \to \infty}{n}/\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\dfrac{\infty}{2}=\infty$$

Per a la divisió $\dfrac{b}{a}$ $$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{2n+1}{n}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{2n+1}{n^2}\Big)}=0$$ $$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}/\lim_{n \to \infty}{n}=\dfrac{2}{\infty}=0$$

Indeterminacions

Les regles aritmètiques anteriors permeten definir la majoria d'operacions entre límits de successions. Si ens fixem, estan descrites totes les operacions possibles excepte $\infty-\infty$, $\dfrac{\pm\infty}{\infty}$ i $0\cdot(\pm\infty)$. La lògica ens fa pensar que els resultats han de ser $0$, $\pm1$ i $0$ respectivament.

Anem a comprovar que això no és cert en general.

Considerem les successions amb terme general $n+1$ i $n$. Ambdues tenen límit infinit però vegem el límit de la diferència.

$$\lim_{n \to \infty}{(n+1-n)}=\lim_{n \to \infty}{1}=1$$

Considerant les successions amb terme general $2n$ i $n$ veiem com el límit del quocient no és $1$.

$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n}{n}}=\lim_{n \to \infty}{2}=2$$

Per al darrer cas escollim les successions amb terme general $n$ i $\dfrac{1}{n}$. Veiem que el límit del producte és $1$.

$$\lim_{n \to \infty}{n\cdot\dfrac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}{1}=1$$

Aquestes operacions poden donar qualsevol nombre o bé infinit.

Per resoldre aquestes indeterminacions no hi ha un mètode genèric i s'ha d'estudiar cas a cas. Per als casos on les successions són quocient de polinomis és suficient manipular les expressions fins a trobar una expressió com a quocient de dos polinomis i aplicar la teoria ja coneguda.

Vegem un exemple més complet que els anteriors.

Considerem les successions $a=\Big\{\dfrac{n^2}{n+1}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $b=\Big\{\dfrac{2n^2}{n-1}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$, ambdues amb límit infinit.

Calculem el límit de $a-b$:

$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{n+1}-\dfrac{2n^2}{n-1}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^2(n-1)-2n^2(n+1)}{(n+1)(n-1)}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{-n^3-3n^2}{n^2-1}}=-\infty$$

A la primera igualtat hem posat denominador comú i en la segona simplificat l'expressió.

Calculem el límit de $\dfrac{a}{b}$:

$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{n+1}/\dfrac{2n^2}{n-1}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^2(n-1)}{2n^2(n+1)}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-n^2}{2n^3+2n^2}}=\dfrac{1}{2}$$

La primera igualtat correspon a realitzar el producte creuat i la segona a simplificar l'expressió.

Vegem també el següent exemple:

Les successions $a=\Big\{\dfrac{n^2-3}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $b=\Big\{\dfrac{5n^2}{7n^3-n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$amb límits infinit i zero respectivament. Calculem el límit del producte $a\cdot b$:

$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2-3}{n}\cdot\dfrac{5n^2}{7n^3-n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{5n^4-15n^2}{7n^4-n^2}}=\dfrac{5}{7}$$

## Operacions i límits entre successions

Operacions entre successions

Els nombres reals ens permeten definir les operacions de suma, resta, multiplicació i divisió. Aquestes operacions poden estendre's de manera natural al conjunt de les successions. La manera d'estendre les operacions es realitza terme a terme. Vegem les definicions corresponents.

Siguin $a=\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $b=\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ dues successions. Definim les següents successions: $$a+b=\{a_n+b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ $$a-b=\{a_n-b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$ $$a\cdot b=\{a_n\cdot b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$

També podem definir la successió $\dfrac{a}{b}$ com $\Big\{\dfrac{a_n}{b_n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$, però en aquest cas s'ha d'exigir $b_n\neq0$ perquè la divisió estigui definida.

Vegem algun exemple perquè no quedi cap dubte.

Siguin $a=\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $b=\{\dfrac{1}{n} \}{n\in\mathbb{N}}$. Llavors, $$a+b=\Big\{n+\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\Big\{\dfrac{n^2+1}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ $$a-b=\Big\{n-\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\Big\{\dfrac{n^2-1}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$$ $$a\cdot b=\Big\{n\cdot\dfrac{1}{n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\{1\}_{n\in\mathbb{N}}$$ $$a/b=\Big\{\dfrac{n}{1/n} \Big\}_{n\in\mathbb{N}}=\{n^2\}_{n\in\mathbb{N}}$$

Límits i operacions amb successions convergents

És natural ara preguntar-se com es comporta el límit de successions respecte de les operacions. En aquest sentit, el límit actua de la manera més senzilla possible quan les successions són convergents.

$$\lim_{n \to \infty}{(a\pm b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}\pm\lim_{n \to \infty}{b_n}$$ $$\lim_{n \to \infty}{(a\cdot b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}\cdot\lim_{n \to \infty}{b_n}$$ $$\lim_{n \to \infty}{(a/b)}_n=\lim_{n \to \infty}{a_n}/\lim_{n \to \infty}{b_n}$$

Aquesta última propietat requereix $\lim_{n \to \infty}{b_n}\neq0$.

Aquestes propietats ens permeten el càlcul de límits a través de límits ja coneguts. Més útil és encara la següent proposició: El límit del producte d'una successió fitada per una altra amb límit zero té límit zero.

Vegem un exemple d'aquesta proposició.

Considerem la successió $a_n=(-1)^n$, recordem que aquesta successió no té límit però està fitada, i la successió $b_n=\dfrac{1}{n}$, que té límit $0$. Segons la proposició anterior el producte de les dues successions té límit $0$. És a dir $$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{(-1)^n}{n}}=0$$

Límits i operacions en general

Si acceptem algunes regles aritmètiques amb l'infinit llavors podem estendre les regles anteriors a successions divergents.

Sigui $a$ un nombre real, definim les següents operacions: $$a\pm\infty=\pm\infty$$ $$\infty+\infty=\infty$$ $$-\infty-\infty=-\infty$$ $$\dfrac{a}{+\infty}=0$$ $$\infty\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot\infty=-\infty$$ $$\infty\cdot\infty=(-\infty)\cdot(-\infty)=\infty$$

Si a més a més $a > 0$ definim $a\cdot(\pm\infty)=(\pm\infty)\cdot a=\pm\infty$

I si $a < 0$

• $a\cdot\infty=\infty\cdot a=-\infty$
• $a\cdot(-\infty)=(-\infty)\cdot a=\infty$

Aquestes regles aritmètiques estenen les operacions entre límits de successions siguin tant convergents com divergents.

Vegem alguns exemples.

Siguin $a=\{n\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $b=\Big\{\dfrac{2n+1}{n}\Big\}{n\in\mathbb{N}}$.

Comprovem les regles anteriors per a l'operació d'aquestes successions. Per a la suma i resta $$\lim_{n \to \infty}{\Big(n\pm\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2\pm2n\pm1}{n}\Big)}=\infty$$ $$\lim_{n \to \infty}{n}\pm\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\infty\pm2=\infty$$

Per al producte $$\lim_{n \to \infty}{\Big(n\cdot\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{(2n+1)}=\infty$$ $$\lim_{n \to \infty}{n}\cdot\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\infty\cdot2=\infty$$

Per a la divisió $\dfrac{a}{b}$ $$\lim_{n \to \infty}{\Big(n/\dfrac{2n+1}{n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{2n+1}\Big)}=\infty$$ $$\lim_{n \to \infty}{n}/\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}=\dfrac{\infty}{2}=\infty$$

Per a la divisió $\dfrac{b}{a}$ $$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{2n+1}{n}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{2n+1}{n^2}\Big)}=0$$ $$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n+1}{n}}/\lim_{n \to \infty}{n}=\dfrac{2}{\infty}=0$$

Indeterminacions

Les regles aritmètiques anteriors permeten definir la majoria d'operacions entre límits de successions. Si ens fixem, estan descrites totes les operacions possibles excepte $\infty-\infty$, $\dfrac{\pm\infty}{\infty}$ i $0\cdot(\pm\infty)$. La lògica ens fa pensar que els resultats han de ser $0$, $\pm1$ i $0$ respectivament.

Anem a comprovar que això no és cert en general.

Considerem les successions amb terme general $n+1$ i $n$. Ambdues tenen límit infinit però vegem el límit de la diferència.

$$\lim_{n \to \infty}{(n+1-n)}=\lim_{n \to \infty}{1}=1$$

Considerant les successions amb terme general $2n$ i $n$ veiem com el límit del quocient no és $1$.

$$\lim_{n \to \infty}{\dfrac{2n}{n}}=\lim_{n \to \infty}{2}=2$$

Per al darrer cas escollim les successions amb terme general $n$ i $\dfrac{1}{n}$. Veiem que el límit del producte és $1$.

$$\lim_{n \to \infty}{n\cdot\dfrac{1}{n}}=\lim_{n \to \infty}{1}=1$$

Aquestes operacions poden donar qualsevol nombre o bé infinit.

Per resoldre aquestes indeterminacions no hi ha un mètode genèric i s'ha d'estudiar cas a cas. Per als casos on les successions són quocient de polinomis és suficient manipular les expressions fins a trobar una expressió com a quocient de dos polinomis i aplicar la teoria ja coneguda.

Vegem un exemple més complet que els anteriors.

Considerem les successions $a=\Big\{\dfrac{n^2}{n+1}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $b=\Big\{\dfrac{2n^2}{n-1}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$, ambdues amb límit infinit.

Calculem el límit de $a-b$:

$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{n+1}-\dfrac{2n^2}{n-1}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^2(n-1)-2n^2(n+1)}{(n+1)(n-1)}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{-n^3-3n^2}{n^2-1}}=-\infty$$

A la primera igualtat hem posat denominador comú i en la segona simplificat l'expressió.

Calculem el límit de $\dfrac{a}{b}$:

$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2}{n+1}/\dfrac{2n^2}{n-1}/n\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^2(n-1)}{2n^2(n+1)}}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{n^3-n^2}{2n^3+2n^2}}=\dfrac{1}{2}$$

La primera igualtat correspon a realitzar el producte creuat i la segona a simplificar l'expressió.

Vegem també el següent exemple:

Les successions $a=\Big\{\dfrac{n^2-3}{n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$ i $b=\Big\{\dfrac{5n^2}{7n^3-n}\Big\}_{n\in\mathbb{N}}$amb límits infinit i zero respectivament. Calculem el límit del producte $a\cdot b$:

$$\lim_{n \to \infty}{\Big(\dfrac{n^2-3}{n}\cdot\dfrac{5n^2}{7n^3-n}\Big)}=\lim_{n \to \infty}{\dfrac{5n^4-15n^2}{7n^4-n^2}}=\dfrac{5}{7}$$