Creixement i decreixement, màxims i mínims d'una funció

Derivarem les funcions i igualem a zero. Resoldrem l'equació i obtindrem les solucions (si és que existeixen). Un cop sapiguem els valors on trobem màxims i / o mínims (les solucions de l'equació) usant la segona derivada sabrem si són màxims o mínims.

1. Derivem i igualem a zero: $$f'(x)=2x \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$$ Calculem la segona derivada i evaluem: $$f''(x)=2 \Rightarrow f''(0)=2>0$$ Per tant $x=0$ és un mínim.

2. Derivem i igualem a zero: $$f'(x)=1 \Rightarrow 1=0$$ Per tant no existeix cap $x$ que ho compleixi pel que no tindrem màxims ni mínims.

3. Derivarem i igualarem a zero: $$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \Rightarrow \dfrac{2x}{x^2+1}=0 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0 $$ Calculem la segona derivada i evaluem: $$f''(x)=\dfrac{x(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2} \Rightarrow f''(0)=\frac{1}{1}=1>0$$ Per tant, $x = 0$ és un mínim.