Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos de una función

Encontrar en las siguientes funciones los máximos y/o mínimos relativos.

  1. $f(x)=x^2+1$
  2. $f(x)=x+5$
  3. $f(x)=\ln(x^2+1)$

Derivaremos las funciones y igualaremos a cero. Resolveremos la ecuación y obtendremos las soluciones (si es que existen). Una vez que sepamos los valores donde encontramos máximos y/o mínimos (las soluciones de la ecuación) usando la segunda derivada sabremos si son máximos o mínimos.

  1. Derivamos y igualamos a cero: $$f'(x)=2x \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0$$ Calculamos la segunda derivada y la evaluamos: $$f''(x)=2 \Rightarrow f''(0)=2>0$$ Por consiguiente $x=0$ es un mínimo.

  2. Derivamos y igualamos a cero: $$f'(x)=1 \Rightarrow 1=0$$ Per lo que no existe ningún $x$ que cumpla $1=0$ y no tendremos máximos ni mínimos.

  3. Derivaremos y igualaremos a cero: $$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \Rightarrow \dfrac{2x}{x^2+1}=0 \Rightarrow 2x=0 \Rightarrow x=0 $$ Calculamos la segunda derivada y la evaluamos: $$f''(x)=\dfrac{x(x^2+1)-4x^2}{(x^2+1)^2} \Rightarrow f''(0)=\frac{1}{1}=1>0$$ Por consiguiente, $x=0$ es un mínimo.

  1. Mínimo en $x = 0$.
  2. No hay màximos ni mínimos.
  3. Mínimo en $x = 0$.
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