Creixement i decreixement, màxims i mínims d'una funció

Creixement i decreixement

Les funcions poden ser creixents o decreixents al llarg del seu domini o en un cert interval.

Diem que una funció $f(x)$ és creixent en l'interval $[a,b]$ si donats dos punts de $[a,b]$, $x_1$ i $x_2$ tal que $x_1 < x_2$ aleshores $f(x_1) \leqslant f(x_2)$.

Diem que una funció $f(x)$ és decreixent en l'interval $[a,b]$ si donats dos punts de $[a,b]$, $x_1$ i $x_2$ tal que $x_1 < x_2$ aleshores $f(x_1) \geqslant f(x_2)$.

Les funcions que mai decreixen, sempre augmenten el seu valor o es mantenen (les funcions creixents).

Anàlogament, les funcions decreixents mai creixen, sempre disminueixen el seu valor o es mantenen quan $x$ es fa gran.

D'altra banda, podem definir funcions estrictament creixents o decreixents: aquestes mai es mantindran en un mateix valor: o augmenten o disminueixen.

Diem que una funció $f(x)$ és estrictament creixent en l'interval $[a,b]$ si donats dos punts de $[a,b]$, $x_1$ i $x_2$ tal que $x_1 < x_2$ aleshores $f(x_1) < f(x_2)$. Diem que una funció $f(x)$ és estrictament decreixent en l'interval $[a,b]$ si donats dos punts de $[a,b]$, $x_1$ i $x_2$ tal que $x_1 < x_2$ aleshores $f(x_1) > f(x_2)$.

A continuació podem veure uns exemples:

Totes les funcions del tipus $f(x)=ax+b$ quan $a>0$ són funcions creixents, i en particular, són funcions estrictament creixents. No obstant això, quan prenguem $a < 0$ obtindrem funcions estrictament decreixents (i per tant decreixents).

La funció $f(x)=x^2$ és una funció decreixent en l'interval $(-\infty,0]$ i creixent en $[0,+\infty)$.

Les funcions constants són funcions que alhora són creixents i decreixents (es mantenen constants).

Màxims i mínims

Quan representem una funció podem veure que de vegades apareixen punts que són màxims o mínims relatius o globals.

Com podem veure en el següent exemple, podem observar que en $x=0$ la funció $f(x)=x^2$ té un mínim:

Definim doncs correctament el concepte de mínim i màxim relatiu i global:

• Un punt $x_0$ s'anomena màxim global si per a tot punt $x$ del domini, la funció compleix $f(x)\leqslant f(x_0)$.
• Un punt $x_0$ s'anomena mínim global si per a tot punt $x$ del domini, la funció compleix $f(x)\geqslant f(x_0)$.
• Un punt $x_0$ s'anomena màxim relatiu si per a tot punt $x$ d'un entorn de $x_0$ $\ [x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$ (on $\varepsilon$ és un valor petit), la funció compleix $f(x)\leqslant f(x_0)$.
• Un punt $x_0$ s'anomena mínim relatiu si per a tot punt $x$ dd'un entorn de $x_0$ $\ [x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon]$ (on $\varepsilon$ és un valor petit), la funció compleix $f(x)\geqslant f(x_0)$.

Per entendre millor cada concepte vegem un exemple de cada:

La funció $f(x)=x^2$ presenta un mínim global en el punt $x=0$ (veure exemple previ a les definicions).

La funció $f(x)=-(x-1)^2$ presenta un màxim global en el punt $x=1$:

La funció $f(x)=x^3-3x$ presenta un màxim relatiu en $x=-1$ i un mínim relatiu en $x=1$:

La funció $f(x)=x^4-x^3-2x^2$ presenta un mínim global en l'interval $[-2, -1]$, té un màxim relatiu en $x=0$ i un mínim relatiu en l'interval $(0,1)$:

Localització de màxims i mínims

Anem a veure com trobar màxims i mínims relatius.

Per això considerem una funció $f(x)$ contínua i derivable en un domini obert.

Si ens fixem en les gràfiques anteriors, els punts màxims i mínims relatius tenen com a recta tangent una recta de pendent zero. Aquesta serà la clau per trobar màxims i mínims.

El procediment serà derivar la funció $f(x)$ i igualar a zero. Resolent l'equació que apareix trobarem els punts $x$ que seran màxims o mínims en la nostra funció.

El següent pas serà saber si són màxims o mínims. Això es pot deduir del valor que prengui la segona derivada de la funció en el punt en qüestió: si és positiu, serà mínim, i si és negatiu, serà màxim.

Per entendre bé el procés, vegem un exemple.

Prenguem la funció $f(x)=x^3-3x$.

Començarem derivant la funció i igualant a zero. Resoldrem l'equació i ens quedarem amb els punts solució. $$f'(x)=3x^2-3 \Rightarrow 3x^2-3=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$$

Ara sabem que en els punts $1$ i $-1$ tenim màxims o mínims. Anem a veure què són usant la segona derivada: $f''(x)=6x$:

$$f''(1)=6 > 0$$

$$f''(-1)=-6 < 0$$

i per tant en $x =- 1$ tenim un màxim i en $x = 1$ tenim un mínim.

Vegem la gràfica per veure clarament l'exemple: