Asímptotes d'una funció
Troba les diferents asímptotes que presenten les següents funcions:
a) $f(x)=e^x-1$
b) $f(x)=\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}$
c) $f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x+1}$
Notarem: AH = Asímptota horitzontal, AV = Asímptota vertical i AO = Asímptota obliqua.
a) AH:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}e^x-1=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}e^x-1=-1$
per la qual cosa tenim una asímptota horitzontal en $y = -1$.
AV: No presenta asímptotes verticals perquè no tenim problemes per divisions entre zero.
AO: No presenta asímptotes obliqües perquè no tenim divisió de polinomis.
b) AH:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}=0$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}=0$
per la qual cosa tenim una asímptota horitzontal en $y = 0$.
AV: No presenta ni asímptotes verticals perquè el denominador no s'anul·la mai.
AO: No presenta asímptotes obliqües perquè no tenim una divisió de polinomis.
c) AH:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2-2x}{x+1}=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x^2-2x}{x+1}=-\infty$
pel que no tenim asímptota horitzontal.
AV: Tindrem asímptotes verticals on el denominador s'anul·li: $x+1=0\Rightarrow x=-1$
AO:Tindrem asímptotes obliqües si els següents límits són finits:
$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-2x}{x(x+1)}=1$
$\displaystyle \begin{array}{rl} b=&\lim_{x\rightarrow \infty}(f(x)-mx)= \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x}{x+1} -x\Big) \ = & \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x}{x+1} -\frac{x(x+1)}{x+1}\Big) = \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x-x^2-x}{x+1} \Big) \ = & \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{-3x}{x+1} \Big) =-3 \end{array}$
Pel que tenim una asímptota obliqua: $y=x-3$.
a) Té asímptota horitzontal $y=-1$. No té asímptotes verticals ni obliqües.
b) Té asímptota horitzontal $y=0$. No té asímptotes verticals ni obliqües.
c) Té asímptota vertical en $x=-1$ i asímptota obliqua en $y=x-3$. No té asímptotes horitzontals.