Asíntotas de una función
Encontrar las diferentes asíntotas que presentan las siguientes funciones:
a) $f(x)=e^x-1$
b) $f(x)=\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}$
c) $f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x+1}$
Notaremos: AH = Asíntota Horizontal, AV = Asíntota Vertical y AO = Asíntota Oblícua.
a) AH:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}e^x-1=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}e^x-1=-1$
por lo que tenemos una asíntota horizontal en $y = -1$.
AV: No presenta asíntotas verticales por queno tenemos problemas por divisiones por cero.
AO: No presenta asíntotas oblicuas por que no tenemos división de polinomios.
b) AH:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}=0$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{e^{-x^2}}{x^2+1}=0$
por lo que tenemos una asíntota horizontal en $y = 0$.
AV: No presenta ni asíntotas verticales por que el denominador no se anula nunca.
AO: No presenta asíntotas oblícuas porque no tenemos una división de polinomios.
c) AH:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{x^2-2x}{x+1}=+\infty$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\dfrac{x^2-2x}{x+1}=-\infty$
por lo que no tenemos asíntota horizontal.
AV: Tendremos asíntotas verticales donde el denominador se anule: $x+1=0\Rightarrow x=-1$
AO: Tendremos asíntotas oblícuas si los siguientes límites son finitos:
$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{x^2-2x}{x(x+1)}=1$
$\displaystyle \begin{array}{rl} b=&\lim_{x\rightarrow \infty}(f(x)-mx)= \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x}{x+1} -x\Big) \ = & \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x}{x+1} -\frac{x(x+1)}{x+1}\Big) = \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2-2x-x^2-x}{x+1} \Big) \ = & \lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{-3x}{x+1} \Big) =-3 \end{array}$
Por lo que tenemos una asíntota oblícua: $y=x-3$.
a) Tiene asíntota horizontal $y=-1$. No tiene asíntotas verticales ni oblícuas.
b) Tiene asíntota horizontal $y=0$. No tiene asíntotas verticales ni oblícuas.
c) Tiene asíntota vertical en $x=-1$ y asíntota oblícua en $y=x-3$. No tiene asíntotas horizontales.