Asímptotes d'una funció

Definim una asímptota com una línia recta que pot ser horitzontal, vertical o obliqua a la qual s'aproxima una corba com a gràfica d'una determinada funció.

Aquestes asímptotes solen aparèixer al haver-hi punts on la funció no estigui definida.

Vegem-ho en un exemple, ja que serà més fàcil d'entendre.

Prenguem la funció $f(x)=\dfrac{1}{x}$. És clar que quan $x=0$ tenim un problema de definició. Justament, és aquí on apareix la asímptota. Vegem la representació gràfica d'aquesta funció:

Podem observar que quan la funció s'aproxima a $x=0$ per la dreta tendeix a infinit acostant-se cada vegada més a la recta $x=0$ i per l'esquerra tendeix a menys infinit acostant-se cada vegada més a la mateixa recta $x=0$. Llavors diem que $x=0$ és una asímptota.

Vegem doncs una definició més exacta d'asímptota d'una funció $f(x)$:

Asímptota vertical

Direm que la recta $x=a$ (on $a$ és una constant) és una asímptota vertical si es compleix alguna d'aquestes dues condicions:

• $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=\pm\infty$
• $\displaystyle \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\pm\infty$

La funció $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$ té una asímptota vertical en $x=-1$, ja que el límit $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^+}f(x)=\pm\infty$.

Asímptota horitzontal

Si existeix el límit:

$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty}f(x)=a$$

on $a$ és un valor finit, aleshores direm que la recta $y=a$ és una asímptota horitzontal.

La funció $f(x)=e^x$ té una asímptota horitzontal en $y=0$ ja que:

$$\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=0$$

Asímptota obliqua

Si existeixen els següents límits i són finits:

• $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=m$
• $\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}(f(x)-mx)=b$

llavors direm que té una asímptota obliqua i la recta de la asímptota obliqua està donada per l'equació $y=mx+b$.

Les asímptotes obliqües només existeixen en funcions racionals (divisió de polinomis) on el polinomi dividend és d'un grau superior al del polinomi divisor.

La funció $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$ té asímptota obliqua ja que els límits següents existeixen:

$$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2+1}{x^2}=1$$

$$\displaystyle b=\lim_{x\rightarrow \infty}(f(x)-mx)=\lim_{x\rightarrow \infty} \Big( \frac{x^2+1}{x}-\frac{x^2}{x}\Big)=\lim_{x\rightarrow \infty}\Big( \frac{1}{x} \Big) =0$$

i a més la recta $y=x$ és la asímptota obliqua.

(observem la asímptota obliqua de color verd, la recta $y = x$).