Repartiments proporcionals: directes i inversos
Un pare decideix repartir $65$ caramels de forma inversament proporcional a les hores que els seus tres fills, la Patricia, la Paula i el Pau, han trigat a fer els deures. Si han trigat $2, 3$ i $4$ hores, respectivament, quants caramels se'n porta cada un?
El primer que cal veure és que si el repartiment és inversament proporcional, el que hagi trigat menys temps es portarà més caramels i viceversa.
Si s'anomena $x$ als caramels que li toquen a la Patricia, $y$ als que mereix la Paula i $z$ els que se'n portarà el Pau, la relació del repartiment serà la següent:
$$\dfrac{x}{\frac{1}{2}}=\dfrac{y}{\frac{1}{3}}=\dfrac{z}{\frac{1}{4}}$$
Ara hi ha una fracció comparable a les anteriors per la regla de la suma:
$$\dfrac{x}{\frac{1}{2}}=\dfrac{y}{\frac{1}{3}}=\dfrac{z}{\frac{1}{4}}=\dfrac{C}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}$$
Si s'opera el denominador amb la suma de fraccions tenim que:
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{6+4+3}{12}=\dfrac{13}{12}$$
Amb aquesta dada i sabent que, tal com especifica l'enunciat, el total de caramels a repartir $C$ és de $65$:
$$\dfrac{x}{\frac{1}{2}}=\dfrac{y}{\frac{1}{3}}=\dfrac{z}{\frac{1}{4}}=\dfrac{65}{\frac{13}{12}}$$
De manera que:
$$2x=3y=4z=\dfrac{12\cdot65}{13} \Rightarrow 2x=3y=4z=\dfrac{780}{13} \Rightarrow 2x=3y=4z=60$$
Per tant, a la Patricia li corresponen:
$2x=60 \Rightarrow x=\dfrac{60}{2}=30$ caramels
En canvi, a la Paula li toquen:
$3y=60 \Rightarrow y=\dfrac{60}{3}=20$ caramels
I el Pau es queda amb:
$4z=60 \Rightarrow z=\dfrac{60}{4}=15$ caramels
$30$ caramels a la Patricia, $20$ a la Paula i $15$ al Pau.