Repartos proporcionales: directos e inversos
Un padre decide repartir $65$ caramelos de forma inversamente proporcional a las horas que sus tres hijos, Patricia, Paula y Pablo, han tardado en hacer los deberes. Si han tardado $2, 3$ y $4$ horas, respectivamente, ¿cuántos caramelos se lleva cada uno?
Lo primero que hay que ver es que si el reparto es inversamente proporcional, el que haya tardado menos tiempo se llevará más caramelos y viceversa.
Si se denomina $x$ a los caramelos que le tocan a Patricia, $y$ a los que merece Paula y $z$ los que se llevará Pablo, la relación del reparto será la siguiente:
$$\dfrac{x}{\frac{1}{2}}=\dfrac{y}{\frac{1}{3}}=\dfrac{z}{\frac{1}{4}}$$
Ahora se halla una fracción comparable a las anteriores por la regla de la suma:
$$\dfrac{x}{\frac{1}{2}}=\dfrac{y}{\frac{1}{3}}=\dfrac{z}{\frac{1}{4}}=\dfrac{C}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}$$
Si se opera el denominador con la suma de fracciones se tiene que:
$$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{6+4+3}{12}=\dfrac{13}{12}$$
Con este dato y sabiendo que, tal como especifica el enunciado, el total de caramelos a repartir $C$ es de $65$:
$$\dfrac{x}{\frac{1}{2}}=\dfrac{y}{\frac{1}{3}}=\dfrac{z}{\frac{1}{4}}=\dfrac{65}{\frac{13}{12}}$$
De modo que:
$$2x=3y=4z=\dfrac{12\cdot65}{13} \Rightarrow 2x=3y=4z=\dfrac{780}{13} \Rightarrow 2x=3y=4z=60$$
Por tanto, a Patricia le corresponden:
$2x=60 \Rightarrow x=\dfrac{60}{2}=30$ caramelos
En cambio, a Paula le tocan:
$3y=60 \Rightarrow y=\dfrac{60}{3}=20$ caramelos
Y Pablo se queda con:
$4z=60 \Rightarrow z=\dfrac{60}{4}=15$ caramelos
$30$ caramelos a Patricia, $20$ a Paula y $15$ a Pablo.