Repartiments proporcionals: directes i inversos

Un altre àmbit de la proporcionalitat són els anomenats repartiments proporcionals, és a dir, quan es vol repartir una quantitat de formar proporcional, ja sigui directa o inversa, entre diverses parts.

Un avi decideix repartir $6.000$ € entre els seus tres néts, però en comptes de donar-los un terç a cadascun prefereix fer-ho de forma proporcional a l'edat de cada nét, que tenen $7, 12$ i $21$ anys. Quant rebrà cadascún d'ells?

Per encarar aquest tipus de problemes caldrà assignar una incògnita a cada una de les parts, de manera que:

La quantitat que li correspon al nét de $7$ anys es denominarà $x$, la del nét de $12$ anys serà $y$, i la del de $21$ anys serà $z$.

Com l'avi ha decidit, per la raó que sigui, repartir els diners en funció de l'edat, el nét més jove li tocaran $\dfrac{x}{7}$ parts del total, al mitjà $\dfrac{y}{12}$ parts i al major $\dfrac{z}{21}$ parts. La relació es pot esquematitzar de la manera següent:

$$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{21}$$

On $x, y, z$, representen la quantitat que rebrà cada nét, la suma serà la quantitat total a repartir, és a dir, els $6.000$ €.

En aquest punt cal citar una altra propietat important de les proporcions, i és que:

$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}$$

És a dir, en una proporció, en sumar els numeradors i els denominadors de les fraccions que la integren s'obté una nova fracció que és proporcional a qualsevol de les implicades.

Aplicant aquesta regla a l'exemple s'haurà de: $$\dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{21}=\dfrac{x+y+z}{7+12+21}=\dfrac{C}{40}$$

Ja que la quantitat total repartida, $C=6000$ €, ha de ser la suma del que s'assigna a cada nét $x+y+z$. Com la nova fracció obtinguda és igual a qualsevol de les altres, es pot igualar amb cada incògnita, el que permetrà trobar el seu valor:

El nét més jove rebrà:

$$\dfrac{x}{7}=\dfrac{C}{40} \Rightarrow \dfrac{x}{7}=\dfrac{6000}{40} \Rightarrow 40x=7\cdot6000 \Rightarrow 40x=42.000$$

$\Rightarrow x=\dfrac{42.000}{40}=1050$ €

Al nét mitjà li tocaran:

$$\dfrac{y}{12}=\dfrac{C}{40} \Rightarrow \dfrac{y}{12}=\dfrac{6000}{40} \Rightarrow 40y=12\cdot6000 \Rightarrow 40y=72.000$$

$\Rightarrow y=\dfrac{72.000}{40}=1800$ €

Finalment, al nét major li corresponen:

$$\dfrac{z}{21}=\dfrac{C}{40} \Rightarrow \dfrac{z}{21}=\dfrac{6000}{40} \Rightarrow 40z=21\cdot6000 \Rightarrow 40z=126.000$$

$\Rightarrow z=\dfrac{126.000}{40}=3150$ €

Si l'operació s'ha fet bé, la suma de les quantitats repartides ha de ser igual al total:

$1050+1800+3150=6000$ €.

L'exemple anterior és un cas clar de repartiment directament proporcional, ja que els néts amb més edat reben més diners i viceversa. Però:

Què passaria si l'avi decidís repartir els diners de forma inversament proporcional a l'edat dels néts?

Doncs que com més edat menys diners rebran i viceversa, de manera que cal elaborar una relació que segueixi aquesta premissa.

Si es mantenen les incògnites per a cada nét, al més jove li tocarà una quantitat inversament proporcional a la seva edat, de manera que si en el repartiment directe li tocaven $\dfrac{x}{7}$ ara li tocaran $\dfrac{x}{\frac{1}{7}}$ o, el que és el mateix, $7x$:

$$\mbox{Repartiment directament proporcional:} \dfrac{x}{7}$$

$$ \mbox{Repartiment inversament proporcional:} \dfrac{x}{\frac{1}{7}}$$

És a dir, per expressar el repartiment invers cal invertir el denominador de la fracció corresponent a cada nét, de manera que:

$$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}=\dfrac{y}{\frac{1}{12}}=\dfrac{z}{\frac{1}{21}}$$

Ara, per trobar la fracció comparable a aquestes caldrà sumar els numeradors i els denominadors:

$$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}=\dfrac{y}{\frac{1}{12}}=\dfrac{z}{\frac{1}{21}}=\dfrac{C}{\frac{1}{7}+\frac{1}{12}+\frac{1}{21}}$$

Si s'opera el denominador que conté la suma de fraccions s'obté que:

$$\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{21}=\dfrac{12+7+4}{84}=\dfrac{23}{84}$$

De manera que la relació del repartiment quedarà:

$$\dfrac{x}{\frac{1}{7}}=\dfrac{y}{\frac{1}{12}}=\dfrac{z}{\frac{1}{21}}=\dfrac{C}{\frac{23}{84}}$$

O el que és el mateix:

$$7x=12y=21z=\dfrac{84\cdot C}{23}$$

En aquest punt ja es poden realitzar els repartiments corresponents a cada nét.

Al més jove li tocarà:

$7x=\dfrac{84C}{23} \Rightarrow x=\dfrac{84\cdot6000}{23\cdot7}=\dfrac{504.000}{161}=3130,43$ €

El mitjà rebrà:

$12y=\dfrac{84C}{23} \Rightarrow y=\dfrac{84\cdot6000}{23\cdot12}=\dfrac{504.000}{276}=1826,09$ €

I al més gran li correspondran:

$21z=\dfrac{84C}{23} \Rightarrow z=\dfrac{84\cdot6000}{23\cdot21}=\dfrac{504.000}{483}=1043,48$ €

Es pot comprovar que tot sigui correcte sumant les quantitats per veure si sumen els $6000$ € a repartir:

$3130,43+1826,09+1043,48=6000$ €.

En els problemes de repartiments proporcionals és habitual que la quantitat total a repartir sigui desconeguda, però en aquests casos es donen pistes per esbrinar-la.

L' Antoni, l' Alba i l' Albert són tres cambrers que sempre es reparteixen les propines del mes en funció de les hores diàries que treballa cada un. L'Antoni treballa $8$ hores al dia i aquest mes l'han correspost $124$ €. Si l' Alba treballa $6$ hores al dia i l'Albert $4$ hores al dia, quant els correspon a ells? A quant han pujat les propines aquest mes?

El primer que cal observar és que es tracta d'un repartiment directament proporcional. El segon és adonar-se que a partir de la dada del que rep l'Antoni es pot conèixer tota la resta.

Si es denomina $x$ a la part que li correspon a l'Antoni, $y$ a la de l'Alba i $z$ a la d'Albert, l'esquema del repartiment serà:

$$\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{6}=\dfrac{z}{4}$$

Però, de fet, el valor de $x$ és conegut, ja que l'enunciat diu que es porta $124$ €, així que igualar aquesta fracció amb cadascuna de les altres dues permetrà saber les dades que falten.

A l'Alba li correspondran:

$$\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{6} \Rightarrow \dfrac{124}{8}=\dfrac{y}{6} \Rightarrow 8y=124\cdot6 \Rightarrow$$

$8y=744 \Rightarrow y=\dfrac{744}{8}=93$ €

Mentre que a l'Albert li corresponen:

$$\dfrac{x}{8}=\dfrac{z}{4} \Rightarrow \dfrac{124}{8}=\dfrac{z}{4} \Rightarrow 8z=124\cdot4 \Rightarrow$$

$8z=496 \Rightarrow z=\dfrac{496}{8}=62$ €

Ara, per saber a quant ascendia el total de propines l'opció més ràpida consisteix a sumar directament les quantitats que es porta cada cambrer: $124+93+62=279$ €