Producte de n termes d'una progressió geomètrica

El terme general d'aquesta progressió és de la forma $a_n=\sqrt{7}\cdot r^{n-1}$ ja que ignorem el valor de la raó, però tenim que el primer terme és $\sqrt{7}$.

D'altra banda, el producte dels sis primers termes val $\sqrt{7^{21}}$, i si fem el càlcul, tenim que:

$$P_6=\sqrt{(a_1\cdot a_6)^6}=\sqrt{(\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\cdot r^5)^6}= \sqrt{7^6\cdot r^{30}}= 7^3\cdot r^{15}$$

Així que,

$$7^3\cdot r^{15} = \sqrt{7^{21}} \Rightarrow r^{15}=\sqrt{7^{15}} \Rightarrow r^{15}=(\sqrt{7})^{15} \Rightarrow r=\sqrt{7}$$

Per tant, el terme general de la successió ens queda com: $$a_n=\sqrt{7^n}$$ Amb el que $$a_1=\sqrt{7}, a_2=7, a_3=7\sqrt{7}, a_4=49, a_5=49\sqrt{7}$$

El terme general de la successió amb primer terme $a_1=1$ i raó $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{0.1}{1}=0.1=\dfrac{1}{10}$, és

$$a_n=\dfrac{1}{10^{n-1}}$$

Volem trobar un natural $m$ tal que el producte dels $m$ primers termes de la successió sigui $10^{-45}$, és a dir, que:

$$P_m=\prod_{n=1}^m \dfrac{1}{10^{n-1}} = 1^{10}\cdot 10^{-45}$$

però sabem que:

$$P_m=\sqrt{(a_1\cdot a_m)^m}=\sqrt{ \Big(1\cdot \dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^m}$$

I comparant les dues expressions, ens queda que:

$$10^{-45}= \sqrt{ \Big(\dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^m}$$

I aïllant la variable d'aquesta equació racional:

$$\Big(\dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^{\frac{m}{2}}=10^{-45} \Rightarrow \dfrac{1}{10^{\frac{m}{2}(m-1)}}=\dfrac{1}{10^{45}} \Rightarrow$$

$$10^{\frac{m(m-1)}{2}}=10^{45} \Rightarrow \dfrac{m^2-m}{2}=45 \Rightarrow$$

$$m^2-m-90=0$$

Així que només ens queda resoldre aquesta equació de segon grau:

$$m^2-m-90=0 \Rightarrow m=\{10,-9\}$$

Sabem que $m$ ha de ser un enter positiu, ens quedem amb la solució $m=10$.