Producto de n términos de una progresión geométrica

El término general de esta progresión es de la forma $a_n=\sqrt{7}\cdot r^{n-1}$ ya que ignoramos el valor de la razón, pero tenemos que el primer término es $\sqrt{7}$.

Por otra parte, el producto de los seis primeros términos vale $\sqrt{7^{21}}$, y si hacemos el cálculo, tenemos que:

$$P_6=\sqrt{(a_1\cdot a_6)^6}=\sqrt{(\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}\cdot r^5)^6}= \sqrt{7^6\cdot r^{30}}= 7^3\cdot r^{15}$$

Así que,

$$7^3\cdot r^{15} = \sqrt{7^{21}} \Rightarrow r^{15}=\sqrt{7^{15}} \Rightarrow r^{15}=(\sqrt{7})^{15} \Rightarrow r=\sqrt{7}$$

Por lo tanto, el término general de la sucesión nos queda como: $$a_n=\sqrt{7^n}$$ Con lo que $$a_1=\sqrt{7}, a_2=7, a_3=7\sqrt{7}, a_4=49, a_5=49\sqrt{7}$$

El término general de la sucesión con primer término $a_1=1$ y razón $r=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{0.1}{1}=0.1=\dfrac{1}{10}$, es

$$a_n=\dfrac{1}{10^{n-1}}$$

Queremos encontrar un natural $m$ tal que el producto de los $m$ primeros términos de la sucesión sea $10^{-45}$, es decir, que:

$$P_m=\prod_{n=1}^m \dfrac{1}{10^{n-1}} = 1^{10}\cdot 10^{-45}$$

pero sabemos que:

$$P_m=\sqrt{(a_1\cdot a_m)^m}=\sqrt{ \Big(1\cdot \dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^m}$$

Y equiparando ambas expresiones, nos queda que:

$$10^{-45}= \sqrt{ \Big(\dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^m}$$

Y aislando la variable de esta ecuación racional:

$$\Big(\dfrac{1}{10^{m-1}}\Big)^{\frac{m}{2}}=10^{-45} \Rightarrow \dfrac{1}{10^{\frac{m}{2}(m-1)}}=\dfrac{1}{10^{45}} \Rightarrow$$

$$10^{\frac{m(m-1)}{2}}=10^{45} \Rightarrow \dfrac{m^2-m}{2}=45 \Rightarrow$$

$$m^2-m-90=0$$

Así que solo nos queda resolver esta ecuación de segundo grado:

$$m^2-m-90=0 \Rightarrow m=\{10,-9\}$$

Sabemos que $m$ debe ser un entero positivo, nos quedamos con la solución $m=10$.