Producte de n termes d'una progressió geomètrica

L'objectiu és trobar una fórmula que ens permeti calcular el producte dels primers termes d'una progressió geomètrica sense necessitat de calcular.

Per fer-ho, utilitzarem la següent propietat:

Si es consideren $n$ termes d'una progressió geomètrica, el producte de dos termes equidistants dels extrems coincideix amb el producte dels extrems. És a dir, el producte del primer i l'últim terme coincideix amb el producte del segon i el penúltim i amb el producte del tercer i l'antepenúltim, etc, sigui quina sigui la quantitat de termes que estiguem considerant d'una progressió geomètrica.

Considerem la progressió geomètrica amb primer terme $a_1=2^0=1$ i raó $r=2.$

Els seus sis primers termes són:

$a_1=2^0=1$, $a_2=2^1=2$, $a_3=2^2=4$, $a_4=2^3=8$, $a_5=2^4=16$, $a_6=2^5=32.$

Si fem el producte entre els termes equidistants, obtenim:

$a_1 \cdot a_6=2^0 \cdot 2^5=2^5$, $a_2 \cdot a_5=2^1 \cdot 2^4=2^5$, $a_3 \cdot a_4=2^2 \cdot 2^3=2^5.$

Amb la qual cosa, obtenim que efectivament el producte de termes equidistants als extrems és igual al producte dels extrems.

Això és degut a que els termes equidistants s'obtenen incrementant el primer i reduint l'últim amb la mateixa proporció, per tant, el producte d'aquests dos factors ha de coincidir amb el producte dels factors de partida: els extrems.

Siguin $a_1$ i $a_n$ els extrems, i sigui $a_{1+k}$ un terme situat $k$ posicions després del primer, i $a_{n-k}$ un terme situat $k$ posicions abans de l'últim, volem veure que $a_1\cdot a_n=a_{1+k}\cdot a_{n-k}$.

Com aquests termes formen part d'una progressió geomètrica, sabem que:

$$a_{1+k}=a_1\cdot r^{1+k-1}=a_1\cdot r^k$$ $$a_{n-k}=a_n\cdot r^{n-k-n}=a_n\cdot r^{-k}$$

I d'aquí:

$$a_{1+k}\cdot a_{n-k} =(a_1\cdot r^k)\cdot (a_n\cdot r^{-k})=(a_1 \cdot a_n)\cdot (r^k\cdot r^{-k})=a_1 \cdot a_n$$ que és el que volíem veure.

D'aquí tenim que el producte $P_n$ dels $n$ primers termes d'una progressió geomètrica val:

$$P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n} $$

En efecte, si $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},a_n$ són els $n$ primers termes, serà: $P_n=a_1\cdot a_2 \cdot \ \ldots \ \cdot a_{n-1}\cdot a_n$, o bé, $P_n=a_n \cdot a_{n-1} \cdot \ \ldots \ \cdot a_2 \cdot a_1$.

Si es multipliquen les dues igualtats membre a membre, obtenim:

$$(P_n)^2=(a_1\cdot a_2 \cdot \ \ldots \ \cdot a_{n-1}\cdot a_n)(a_n \cdot a_{n-1} \cdot \ \ldots \ \cdot a_2 \cdot a_1)=$$

$$=(a_1\cdot a_n)(a_2\cdot a_{n-1})\cdots (a_{n-1}\cdot a_2)(a_n\cdot a_1)$$

En el segon membre apareixen $n$ parèntesis que contenen el producte de dos termes equidistants als extrems que com acabem de veure és igual al producte dels extrems.

Així que:

$$(P_n)^2=(a_1\cdot a_n)(a_1\cdot a_n)\cdot \overset{n)}{\ldots} \cdot (a_1\cdot a_n)(a_1\cdot a_n)=(a_1\cdot a_n)^n$$

I traient arrel quadrada obtenim:

$P_n=\sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$ que és el que volíem veure.

Per calcular el producte dels sis primers múltiples de $2$, ens fixem que es tracta d'una progressió geomètrica de primer terme $a_1=2^0=1$ i raó $r=2$.

Així que el seu terme general és: $a_n=2^{n-1}$, i el sisè terme és: $a_6=2^{6-1}=2^5$, així que el producte dels sis primers és: $$P_6=\sqrt{(a_1\cdot a_n)^6}=\sqrt{(1\cdot 2^5)^6}=\sqrt{2^30}=2^{15}=32.768$$

Per facilitar l'escriptura i simplificar la notació, per denotar el producte d'una gran quantitat de números que no podem escriure explícitament, utilitzarem la lletra grega Pi majúscula: $\prod.$

A la part inferior escriurem respecte que variable estem multiplicant i a partir que terme, mentre que a la part superior escriurem l'últim terme a sumar.

En l'exemple anterior, resumirem multiplicar les sis primeres potències de dos amb: $$P_6=\prod_{n=1}^6 2^{n-1}$$

I multiplicar els tres-cents primers termes de la successió $a_n=-2\Big(-\dfrac{3}{7}\Big)^n$ ho escriurem: $$P_{300}=\prod_{n=1}^{300} -2\Big(-\dfrac{3}{7}\Big)^n$$