Successos dependents i independents
A Barcelona, el $60\%$ de la població té el cabell castany, el $70\%$ té ulls castanys, i el $80\%$ té el cabell o els ulls castanys.
Escollim una persona a l'atzar. Si teniu el cabell castany, quina és la probabilitat que tingui també ulls castanys? És independent tenir el cabell castany i tenir els ulls castanys, o hi ha una relació?
Estem considerant dos successos, $C =$"tenir el cabell castany", $O=$ "tenir els ulls castanys". Per l'enunciat, sabem que $P(C)=\dfrac{6}{10}={3}{5}$, $P(O)=\dfrac{7}{10}$, $P(O\cup C)=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$.
Ens pregunten la probabilitat de tenir ulls castanys, sabent que la persona té els cabells castanys, és a dir, $P(O/C)$.
Aplicant la fórmula de la probabilitat condicionada, $P(O/C)=\dfrac{P(O\cap C)}{P(C)}$, però encara no coneixem $P(O\cap C)$.
Com coneixem la probabilitat de la unió, podem utilitzar la fórmula $P(O\cup C)=P(O)+P(C)-P(O\cap C)$.
Substituint, $$\dfrac{4}{5}=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}-P(O\cap C)$$ i per tant, $$P(O\cap C)=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$$
Així doncs, $$P(O/C)=\dfrac{P(O\cap C)}{P(C)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{6}$$
Per calcular si és independent tenir el cabell i els ulls castanys, hem de preguntar-nos si $P(O\cap C)=P(O)\cdot P(C)$.
Substituint, $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{21}{50}$.
Per tant, els dos successos són dependents.
$P(O/C)=\dfrac{5}{6}$. Els dos successos són dependents.