Sucesos dependientes e independientes
En Barcelona, el $60\%$ de la población tiene el cabello castaño, el $70\%$ tiene ojos castaños, y el $80\%$ tiene el cabello o los ojos castaños.
Escogemos una persona al azar. Si tiene el pelo castaño, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños? ¿Es independiente tener el cabello castaño y tener los ojos castaños, o hay una relación?
Estamos considerando dos sucesos, $C =$"tener el cabello castaño", $O=$ "tener los ojos castaños". Por el enunciado, sabemos que $P(C)=\dfrac{6}{10}={3}{5}$, $P(O)=\dfrac{7}{10}$, $P(O\cup C)=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}$.
Nos preguntan la probabilidad de tener ojos castaños, sabiendo que la persona tiene los cabellos castaños, esto es, $P(O/C)$.
Aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada, $P(O/C)=\dfrac{P(O\cap C)}{P(C)}$, pero aún no conocemos $P(O\cap C)$.
Como conocemos la probabilidad de la unión, podemos utilizar la fórmula $P(O\cup C)=P(O)+P(C)-P(O\cap C)$.
Sustituyendo, $$\dfrac{4}{5}=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}-P(O\cap C)$$ y por lo tanto, $$P(O\cap C)=\dfrac{7}{10}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$$
Así pues, $$P(O/C)=\dfrac{P(O\cap C)}{P(C)}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{5}{6}$$
Para calcular si es independiente tener el cabello y los ojos castaños, debemos preguntarnos si $P(O\cap C)=P(O)\cdot P(C)$.
Sustituyendo, $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{3}{5}=\dfrac{21}{50}$.
Por lo tanto, los dos sucesos son dependientes.
$P(O/C)=\dfrac{5}{6}$. Los dos sucesos son dependientes.