Successos dependents i independents

Successos dependents i independents

Diem que els successos $A$ i $B$ són independents si $P(A/B)=P(A)$, o de forma equivalent, si substituïm en la fórmula anterior, si $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$

Si això NO passa, llavors els successos $A$ i $B$ són dependents.

Per exemple, si volem calcular la probabilitat que en llençar un dau surti un $6$, ja sabem, per la regla de Laplace, que la probabilitat és $\dfrac{1}{6}$.

Tanmateix, si disposem de la informació que el resultat ha estat un nombre parell, llavors només hi ha tres possibilitats: $2, 4$ i $6$, de manera que la probabilitat passa a ser més alta, d'$\dfrac{1}{3}$.

Considerem els successos $A=$"treure un $6$", $B=$"treure un número parell".

Hem raonat que és lògic que si sabem que ha sortit parell, llavors la probabilitat que hagi sortit un sis és superior a la que seria si no disposéssim d'aquesta informació.

Comprovem-ho:

Sabem que $P(B) = \dfrac{1}{2}$, per la regla de Laplace, i

$$P(A\cap B)=\mbox{"probabilitat de treure un }6 \mbox{ i treure un número parell"}=$$ $$=\mbox{"probabilitat de treure un }6"=\dfrac{1}{6}$$

$$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{3}$$

En particular, hem comprovat que els nostres successos $A$ i $B$ són dependents, ja que $P (A / B)$ és diferent de $P (A)$.

Fent una enquesta telefònica, hem preguntat a $1000$ persones si creien necessari que hi hagués més il·luminació al carrer a la nit.

Ens han contestat $480$ homes, dels quals $324$ han contestat que sí, i $156$ que no, i $520$ dones, de les quals $351$ han contestat que sí, i $169$ que no. Ens preguntem si homes i dones tenen una opinió diferent, o bé si és irrellevant per a la qüestió.

Per veure més clarament el que ens diuen, el millor és posar les dades en una taula:

	Sí	No
Homes	324	156
Dones	351	169

Considerem els successos $A =$"voler més llum (haver contestat sí)", $B =$"que hi hagi contestat un home".

Ens preguntem si $A$ i $B$ són independents, és a dir, si el fet de voler més llum depèn de si s'és home o dona.

Calculem les probabilitats:

$$P(A)=\dfrac{324+351}{1000}=\dfrac{675}{1000}$$ per la regla de Laplace (són tots els que han contestat que sí, sumant homes i dones).

$$P(B)=\dfrac{480}{1000}$$ els homes que ens han contestat entre el total de trucades.

$$P(A\cap B)=\dfrac{324}{1000}$$ els que són homes i han contestat que sí.

Es compleix que $$\dfrac{324}{1000}=\dfrac{675}{1000}\cdot \dfrac{480}{1000}$$ és a dir que $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$ de manera que els successos són independents. En altres paraules, el fet de ser home o dona no ha influït per saber si volen o no més llum.