Successos compatibles i incompatibles
Tenim una urna amb set boles, numerades de l'$1$ al $7$. El nostre experiment consisteix en treure una bola i observar quin nombre té.
a) Determina l'espai mostral, i els successos $A =$"treure un nombre major o igual que $4$", $B =$"treure un nombre parell", $C =$"treure un múltiple de $3$", $D =$"treure un nombre més gran que $8$", és a dir, expressa $A, B, C$ i $D$ com a conjunt de resultats possibles.
b) Són $A$, $B$, i $\overline{C}$ compatibles dos a dos? Explica-ho raonadament.
a)
L'espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles. En el nostre, tenim set boles numerades, de manera que $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, és a dir, treure la bola $1$, treure la bola $2$, etc.
Només podem treure boles entre $1$ i $7$. Per tant, $A= \{4, 5, 6, 7\}$, que són les boles amb nombre major o igual que $4$.
$B= \{2, 4, 6\}$, ja que correspon amb els nombres parells que hi ha entre $1$ i $7$.
$C= \{3, 6\}$, els múltiples de $3$ entre $1$ i $7$.
$D=\emptyset$, és a dir, $D$ és un succés impossible, ja que només tenim boles entre $1$ i $7$, i per tant, no podem treure mai una bola amb nombres més gran que $8$.
b)
Primer hem de calcular $\overline{C}$. El conjunt contrari a $C$ és el conjunt de tots els resultats possibles que no estan en $C$. En el nostre cas, $\overline{C}=\Omega-C=\{1,2,4,5,7\}$.
Ara, considerem totes les parelles possibles entre $A, B$ i $\overline{C}$. Són les següents: $A$ i $B$, $A$ i $\overline{C}$, $B$ i $\overline{C}$. Hem vist que $A=\{4, 5, 6, 7\}$, $B=\{2, 4, 6\}$, $\overline{C}=\Omega-C=\{1,2,4,5,7\}$.
$A$ i $B$ són compatibles, ja que es poden verificar alhora. Els elements en comú d'$A$ i $B$ són $\{ 2 , 4 \}$, o dit d'una altra manera, $A\cap B=\{2,4\}$. És a dir, si surt un $2$, o també si surt un $4$, es compleixen tant $A$ com $B$.
$A$ i $\overline{C}$ també són compatibles. Tant si surt un $4$, un $5$, o un $7$, es compleixen $A$ i $\overline{C}$.
$B$ i $\overline{C}$ són compatibles. Amb un $2$ o un $4$, es verifica tant $B$ com $\overline{C}$.
És a dir, $A, B$ i $\overline{C}$ són compatibles dos a dos. Si ens fixem, si traiem la bola $4$, es compleixen els tres successos al mateix temps, o dit d'una altra manera, els tres successos són compatibles: $A\cap B \cap \overline{C}=\{4\}$.
Així doncs, sabem que els tres esdeveniments seran compatibles dos a dos. No obstant, això no funciona al revés: podria passar que els tres successos fossin compatibles dos a dos, però no poguéssim trobar cap succés elemental que puguen fer que complissin els tres alhora.
a) $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $A= \{4, 5, 6, 7\}$, $B= \{2, 4, 6\}$, $C= \{3, 6\}$, $D=\emptyset$.
b) Són compatibles dos a dos, ja que $A$ i $B$, $A$ i $\overline{C}$, $B$ i $\overline{C}$ són compatibles.