Sucesos compatibles e incompatibles
Tenemos una urna con siete bolas, numeradas del $1$ al $7$. Nuestro experimento consiste en sacar una bola y observar qué número tiene.
a) Determina el espacio muestral, y los sucesos $A =$ "sacar un número mayor o igual que $4$" , $B =$ "sacar un número par" , $C =$ "sacar un múltiplo de $3$", $D =$ "sacar un número mayor que $8$", es decir, expresa $A, B, C$ y $D$ como conjunto de resultados posibles.
b) ¿Son $A$, $B$, y $\overline{C}$ compatibles dos a dos? Explícalo razonadamente.
a)
El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. En nuestro, tenemos siete bolas numeradas, por lo que $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, es decir, sacar la bola $1$, sacar la bola $2$, etc.
Sólo podemos sacar bolas entre $1$ y $7$. Por lo tanto, $A= \{4, 5, 6, 7\}$, que son las bolas con número mayor o igual que $4$.
$B= \{2, 4, 6\}$, ya que corresponde con los números pares que hay entre $1$ y $7$.
$C= \{3, 6\}$, los múltiplos de $3$ entre $1$ y $7$.
$D=\emptyset$, es decir, $D$ es un suceso imposible, puesto que sólo tenemos bolas entre $1$ y $7$, y por tanto, no podemos sacar nunca una bola con número mayor que $8$.
b)
Primero debemos calcular $\overline{C}$. El conjunto contrario a $C$ es el conjunto de todos los resultados posibles que no están en $C$. En nuestro caso, $\overline{C}=\Omega-C=\{1,2,4,5,7\}$.
Ahora, consideremos todas las parejas posibles entre $A, B$ y $\overline{C}$. Son las siguientes: $A$ y $B$, $A$ y $\overline{C}$, $B$ y $\overline{C}$. Hemos visto que $A=\{4, 5, 6, 7\}$, $B=\{2, 4, 6\}$, $\overline{C}=\Omega-C=\{1,2,4,5,7\}$.
$A$ y $B$ son compatibles, ya que se pueden verificar a la vez. Los elementos en común de $A$ y $B$ son $\{ 2 , 4 \}$, o dicho de otro modo, $A\cap B=\{2,4\}$. Es decir, si sale un $2$, o también si sale un $4$, se cumplen tanto $A$ como $B$.
$A$ y $\overline{C}$ también son compatibles. Tanto si sale un $4$, un $5$, o un $7$, se cumplen $A$ y $\overline{C}$.
$B$ y $\overline{C}$ son compatibles. Con un $2$ o un $4$, se verifica tanto $B$ como $\overline{C}$.
Es decir, $A, B$ y $\overline{C}$ son compatibles dos a dos. Si nos fijamos, si sacamos la bola $4$, se cumplen los tres sucesos a la vez, o dicho de otro modo, los tres sucesos son compatibles: $A\cap B \cap \overline{C}=\{4\}$.
Así pues, sabemos que los tres sucesos serán compatibles dos a dos. No obstante, esto no funciona al revés: podría pasar que los tres sucesos fueran compatibles dos a dos, pero no pudiéramos encontrar ningún suceso elemental que hiciera que se cumplieran los tres a la vez.
a) $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $A= \{4, 5, 6, 7\}$, $B= \{2, 4, 6\}$, $C= \{3, 6\}$, $D=\emptyset$.
b) Son compatibles dos a dos, puesto que $A$ y $B$, $A$ y $\overline{C}$, $B$ y $\overline{C}$ son compatibles.