Successos compatibles i incompatibles

Comencem amb l'experiment següent: tirem un dau de sis cares i veiem quin resultat surt. Considerem els següents esdeveniments $A = \{ 2, 3 \}$, $B = \{ 1 , 2 \}$, $C = \{ 5 \}$.

Observem que si traiem un $2$, llavors es compleix tant $A$ com $B$. Diem que els successos són compatibles, això vol dir, que es poden verificar simultàniament. Per contra, els successos $B$ i $C$ són incompatibles, ja que no es poden donar els dos alhora.

Per veure fàcilment quan dos successos són compatibles o no, podem observar que $A$ i $B$ tenen un element comú: el $2$, per la qual cosa seran compatibles. Per contra, $A$ i $C$ no tenen cap element en comú, i per tant són incompatibles.

Això ho expressem dient que dos successos $A$ i $B$ són incompatibles si:

$$A \cap B = \emptyset$$

i al contrari, que són compatibles si:

$$A \cap B \neq \emptyset$$

Si tenim tres o més successos, diem que són incompatibles dos a dos si qualsevol parella de successos és incompatible (anàlogament, són compatibles dos a dos si qualsevol parella de successos és compatible). En el nostre cas, $A, B$ i $C$ no són incompatibles dos a dos, ja que, encara que $A$ i $C$, $B$ i $C$ són incompatibles, $A$ i $B$ són compatibles.

Com es relaciona això amb els successos complementaris?

En el nostre experiment de tirar un dau, si tenim el nostre succés $A = \{ 2, 3 \}$, analitzem què passa amb el seu complementari.

En aquest cas, $\overline{A}=\{1,4,5,6\}$, ja que són tots els successos elementals que no compleixen $A$.

Resulta doncs que $A$ i $\overline{A}$ són incompatibles, ja que no es poden verificar alhora. I és que per a qualsevol succés $A$ calculem el seu complementari fent $\overline{A}=\Omega - A$, per la qual cosa $A \cap \overline{A}=\emptyset$, és a dir, dos successos complementaris sempre seran incompatibles.

Suposem que $D=$"treure un nombre parell"$=\{ 2, 4, 6 \}$. El seu complementari és $\overline{D}=$"Treure un nombre senar"$=\{ 1, 3, 5 \}$. Llavors, $D\cup \overline{D} = $"Treure un nombre parell o senar"$= \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} = \Omega$, és a dir, és un succés segur.

Per com definim un succés complementari, això sempre passarà, ja que es compleix sempre un dels dos, i com són incompatibles, o es compleix un o es compleix l'altre.