Potències de la unitat imaginària
Escriure les següents potències de la unitat imaginària:
- $i^{117}$
- $i^{43}$
- En aquest cas, es divideix $117$ entre $4$ i queda de la resta $1$. Així doncs: $i^{117}=i^1=i$.
- En aquest cas, es divideix $43$ entre $4$ i queda de resta $3$. Així doncs: $i^{43}=i^3=-1$.
- $i$
- $-i$
Calcula els següents valors:
- $(4i)^3$
- $5i^{16}-81$
- $\dfrac{i^{24}}{i^{11}}$
- Per a aquest càlcul emprarem les potències d'$i$ que hem après. $$ (4i)^3=4^3\cdot i^3=64\cdot(-i)=-64i$$
- En aquest cas, en fer la divisió de $16$ entre $4$, obtenim la resta $0$, de manera que: $$ 5i^{16}-81=5\cdot i^0-81=5\cdot1-81=5-81=-76$$
- Recordant que per dividir dues potències de la mateixa base però amb exponents diferents hem de restar els exponents. Per tant, el que hem de calcular és una potència de $i$, $$\dfrac{i^{24}}{i^{11}}=i^{24-11}=i^{13}$$ Llavors, dividint $13$ entre $4$ obtenim com a residu $1$. Així es té: $$i^{13}=i^1=i$$
- $-64i$
- $-76$
- $i$