Potències de la unitat imaginària

La unitat imaginària $i$ es pot multiplicar per ella mateixa com qualsevol nombre real, obtenint llavors el que es diuen les potències de la unitat imaginària.

Així doncs, es treballa de la següent manera:

• per conveni s'estableix que $i^0=1$, com passa amb qualsevol altre nombre real.
• per a les quatre primeres potències es té:

$i^1=i$

$i^2=i\cdot i= \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=(\sqrt{-1})^2=-1$

$i^3=i^2\cdot i= (-1)\cdot i= -i$

$i^4=i^3\cdot i= (-i)\cdot i= -(i^2) =-(-1)=1$

On cadascuna de les potències s'obté multiplicant l'anterior per $i$.

• les següents potències es poden calcular a partir de les anteriorment calculades. Vegem com segueixen:

$i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i=i^1$

$i^6=i^5\cdot i=i\cdot i=i^2$

$i^7=i^6\cdot i=i^2\cdot i=i^3$

$i^8=i^7\cdot i=i^3\cdot i=i^4$

Així doncs, formen una successió periòdica, ja que els valors de les quatre primeres potències que són $ \ i,\; -1,\; -i,\; 1 \ $ es repeteixen indefinidament. Això és perquè si es vol la potència enèsima de la unitat imaginària (és a dir, es vol calcular $i^n$), aquesta coincideix amb la potència de que té com a exponent la resta de la divisió de $n$ entre $4$.

És a dir, $ i^n=i^{4q+r} \ $ on $n=4q+r$ és la divisió euclidiana. Un cop tenim això, mitjançant les propietats de les potències podem escriure: $$i^n=i^{4q+r}=i^{4q}\cdot i^r= (i^4)^q\cdot i^r$$ però com hem vist que $i^4=1$ llavors això ens queda: $$ i^n=(i^4)^q\cdot i^r=(1)^q \cdot i^r=i^r$$

Així doncs, només cal que calculem $i^r$ on $r$ correspon a la resta de la divisió de $n$ entre $4$.

De manera que ràpidament es pot calcular $i^n=i^r$ que sempre serà una de les potències anteriorment calculades, ja que $r$ només pot ser $0$, $1$, $2$ o $3$.

Vegem alguns exemples:

$i^{347}$ sembla una potència molt difícil, però si fem la divisió de $347$ entre $4$ obtenim $347=4\cdot 86+3$ de manera que la resta és $3$. Per això podem escriure:

$$i^{347}=i^{4\cdot 86}\cdot i^3= i^3$$

Llavors mirem la taula que hem escrit anteriorment amb les primeres quatre potències de $i$ i observem que $i^3=-i$. Pel que ens quedarà:

$$i^{347}=i^3=-i$$

Què passa en el cas de tenir una potència negativa?

Si volem calcular $i^{-n}$ només ho hem d'escriure de la següent manera: $i^{-n}= \dfrac{1}{i^n}$. Llavors resolem el denominador com s'ha explicat per potències positives de $i$ i després es torna a escriure al denominador.

És a dir, per exemple: $$i^{-89}=\dfrac{1}{i^{89}}$$

Per això calcularem primer $i^{89}$. Mitjançant el procediment anterior, si calculem la divisió de $89$ entre $4$ obtenim $89=4\cdot 22+1$, pel que la resta és $1$. Així tenim: $$i^{89}=i^{4\cdot 22}\cdot i^1=i$$

Un cop tenim això, reescrivim el que estàvem buscant i obtenim: $$i^{-89}=\dfrac{1}{i^{89}}=\dfrac{1}{i}$$

Si preferim que la unitat imaginària quedi en el numerador, podem fer com sempre que volem fer desaparèixer del denominador, és a dir, multiplicar i dividir pel seu conjugat. Això és: $$\dfrac{1}{i}\cdot\dfrac{-i}{-i} = \dfrac{-i}{i\cdot(-i)}= \dfrac{-i}{-i^2}= \dfrac{-i}{-(-1)}=-i $$