- Inicio
- Matrius
- Producte de matrius
- Ejercicios
Producte de matrius
Multiplica les següents matrius $\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \end{array} \right)$ i $\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \ 3 & 1 \ 4 & 2 \end{array} \right)$
$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 2\cdot(-1)+0\cdot3+1\cdot4 & 2\cdot2+0\cdot1+1\cdot2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \end{array} \right)$$
Fes el producte de les matrius $\left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \ 1 & 3 \end{array} \right)$ i $\left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \ 0 & 5 \end{array} \right)$
$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ 1 & 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 4 & 1 \\ 0 & 5 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2\cdot4+6\cdot0 & 2\cdot1+6\cdot5 \\ 1\cdot4+3\cdot0 & 1\cdot1+3\cdot5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 8 & 32 \\ 4 & 16 \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{cc} 8 & 32 \\ 4 & 16 \end{array} \right)$$
Quantes files i columnes ha de tenir la matriu $M$ perquè sigui possible fer el producte següent? $$\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{array} \right)\cdot M$$
I si el producte fos el següent? $$M \cdot \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{array} \right)$$
Com que la primera matriu té $3$ files i $2$ columnes, la segona ha de tenir $2$ files i $3$ columnes. El resultat del producte serà una matriu amb $3$ files i $3$ columnes.
En el segon cas, quan $M$ està davant, com a primer factor, haurà de tenir també $2$ files i $3$ columnes, però el resultat de la multiplicació serà una matriu amb $2$ files i $2$ columnes.
En ambdós casos $M$ haurà de ser una matriu $2\times3$
Posa un exemple de matrius $2\times2$ tals que el seu producte sigui commutatiu.
Un exemple senzill seria $$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$$
$$\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)$$
Commuten, per exemple, les matrius $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 2 \end{array} \right)$ i $\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{array} \right)$