Producte de matrius

Parlant amb rigor, la regla per multiplicar matrius diu:

"La matriu producte de dues matrius $A$ i $B$ és una matriu $C$ on els elements $a_{ij}$ estan formats per les sumes dels productes dels elements de la fila $i$ de la matriu $A$ pels de la columna $j$ de la matriu $B$."

La veritat és que no és un enunciat molt encoratjador, però en realitat la cosa és senzilla i només requereix una mica de pràctica, ja que es tracta de multiplicar ordenadament files de la primera matriu per columnes de la segona.

Comencem amb un exemple senzill.

$$\left( \begin{array}{ccc} 5 & 2 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 6 \end{array} \right) = 5\cdot4+2\cdot(-3)+1\cdot6=20-6+6=20$$

És a dir, el que cal fer és multiplicar el primer element de la fila de la primera matriu pel primer de la columna de la segona matriu, a aquest sumar el producte del segon de la fila pel segon de la columna i finalment sumar-li el producte del tercer de la fila pel tercer de la columna.

És més difícil de dir que de fer. Vegem un altre exemple:

$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 4 \end{array} \right) = 2\cdot3+3\cdot2+5\cdot4=6+6+20=32$$

Vegem un producte de dues matrius quadrades $2\times2$:

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 2 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 1 & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1\cdot3+5\cdot1 & 1\cdot4+5\cdot6 \\ 2\cdot3+2\cdot1 & 2\cdot4+2\cdot6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 8 & 34 \\ 8 & 20 \end{array} \right)$$

Cada element $a_{ij}$ s'obté sumant els productes d'elements de la fila $i$ pels de la columna $j$.

Per exemple, el $8$, element de la primera fila, primera columna del resultat, s'obté multiplicant la primera fila de la primera matriu per la primera columna de la segona matriu.

El número $8$, que és l'element de la segona fila, primera columna de la matriu final, s'obté multiplicant la segona fila de la primera matriu per la primera columna de la segona, i així tots els elements.

Per deixar més clar la forma de fer-ho anem a marcar les files i columnes corresponents de la matriu producte.

$$\left( \begin{array}{cc} \fbox{1} & \fbox{5} \\ 2 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} \fbox{3} & 4 \\ \fbox{1} & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \fbox{8} & 34 \\ 8 & 20 \end{array} \right)$$

$$\left( \begin{array}{cc} \fbox{1} & \fbox{5} \\ 2 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 3 & \fbox{4} \\ 1 & \fbox{6} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 8 & \fbox{34} \\ 8 & 20 \end{array} \right)$$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ \fbox{2} & \fbox{2} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} \fbox{3} & 4 \\ \fbox{1} & 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 8 & 34 \\ \fbox{8} & 20 \end{array} \right)$$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ \fbox{2} & \fbox{2} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 3 & \fbox{4} \\ 1 & \fbox{6} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 8 & 34 \\ 8 & \fbox{20} \end{array} \right)$$

En realitat només cal recordar que s'ha de multiplicar "fila per columna". Per exemple, calculem en la següent matriu quin és el valor de l'element assenyalat:

$$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 5 & 0 \\ 8 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 3 & 5 & 3 \\ 7 & 1 & 0 & 3 & 7 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccccc} 2 & 6 & 3 & -1 & 0 \\ 8 & 2 & 4 & 6 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 5 & 3 & 7 & 2 \\ 5 & 8 & 3 & 9 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccccc} \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{?} & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \end{array} \right)$$

Haurem de multiplicar la quarta fila per la tercera columna:

$$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 3 & -2 & 5 & 0 \\ 8 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 & 3 & 1 \\ \fbox{0} & \fbox{-2} & \fbox{3} & \fbox{5} & \fbox{3} \\ 7 & 1 & 0 & 3 & 7 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccccc} 2 & 6 & \fbox{3} & -1 & 0 \\ 8 & 2 & \fbox{4} & 6 & 1 \\ 0 & 2 & \fbox{1} & 4 & 3 \\ 1 & 5 & \fbox{3} & 7 & 2 \\ 5 & 8 & \fbox{3} & 9 & 2 \end{array} \right) =$$

$$= \left( \begin{array}{ccccc} \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & 0\cdot3+(-2)\cdot4+3\cdot1+5\cdot3+3\cdot3 & \fbox{ } & \fbox{ } \\ \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } & \fbox{ } \end{array} \right)$$

O sigui que en la matriu producte tenim que $a_{43}=19$.

Vegem un altre exemple. Farem el producte de dues matrius $3\times3$ (serà el cas més complicat que veurem).

$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1 \\ 4 & -2 & 0 \\ 1 & 6 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 1 & -4 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 18 & 20 & 13 \\ -2 & 0 & 10 \\ 21 & 18 & 13 \end{array} \right)$$

Anem a detallar com s'han calculat alguns dels seus elements.

L'element $a_{11}$ s'obté multiplicant primera fila per primera columna:

$$\left( \begin{array}{ccc} \fbox{2} & \fbox{5} & \fbox{1} \\ 4 & -2 & 0 \\ 1 & 6 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} \fbox{1} & 2 & 3 \\ \fbox{3} & 4 & 1 \\ \fbox{1} & -4 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \fbox{18} & 20 & 13 \\ -2 & 0 & 10 \\ 21 & 18 & 13 \end{array} \right)$$ $$2\cdot1+5\cdot3+1\cdot1=2+15+1=18$$

L'element $a_{23}$ s'obté multiplicant segona fila per tercera columna:

$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1 \\ \fbox{4} & \fbox{-2} & \fbox{0} \\ 1 & 6 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & \fbox{3} \\ 3 & 4 & \fbox{1} \\ 1 & -4 & \fbox{2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 18 & 20 & 13 \\ -2 & 0 & \fbox{10} \\ 21 & 18 & 13 \end{array} \right)$$

$$4\cdot3+(-2)\cdot1+0\cdot2=12-2+0=10$$

L'element $a_{31}$ s'obté multiplicant tercera fila per primera columna:

$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1 \\ 4 & -2 & 0 \\ \fbox{1} & \fbox{6} & \fbox{2} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} \fbox{1} & 2 & 3 \\ \fbox{3} & 4 & 1 \\ \fbox{1} & -4 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 18 & 20 & 13 \\ -2 & 0 & 10 \\ \fbox{21} & 18 & 13 \end{array} \right)$$

$$1\cdot1+6\cdot3+1\cdot2=1+18+2=21$$

L'element $a_{22}$ s'obté multiplicant segona fila per segona columna:

$$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 1 \\ \fbox{4} & \fbox{-2} & \fbox{0} \\ 1 & 6 & 2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 & \fbox{2} & 3 \\ 3 & \fbox{4} & 1 \\ 1 & \fbox{-4} & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 18 & 20 & 13 \\ -2 & \fbox{0} & 10 \\ 21 & 18 & 13 \end{array} \right)$$

$$4\cdot2+(-2)\cdot4+0\cdot2=8-8+0=0$$

Els elements restants de la matriu producte es calculen seguint el mateix mètode.

A hores d'ara ja ens haurem adonat que multiplicar matrius és una mica molest. Pensem, per exemple, que el producte de dues matrius $4\times4$ suposa dur a terme $128$ operacions aritmètiques.

Afortunadament, la majoria de les calculadores científiques que hi ha actualment al mercat inclouen el càlcul matricial. Tanmateix, és aconsellable fer com a mínim un cop el producte "a mà" de matrius $3\times3$ per comprendre la mecànica de les operacions.