Integrals per canvi de variable

• Canvi de variable $x=3 \cdot \sin(t)$

• $dx=3 \cdot \cos(t) \cdot dt$

$$x=0 \Rightarrow u=arcsin\Big(\dfrac{0}{3}\Big)=0$$

$$x=3 \Rightarrow u=arcsin\Big(\dfrac{3}{3}\Big)=\dfrac{\pi}{2}$$

• $\displaystyle \int_0^3 \sqrt{9-x^2} \ dx= \int_0^\frac{\pi}{2} 3\cdot\cos(t)\cdot\sqrt{9-3^2\cdot\sin^2(t)} \ dt =9\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^3(t) \ dt$

• $\displaystyle 9 \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^2(t) \ dt=9 \int_0^\frac{\pi}{2} \dfrac{1+\cos(2t)}{2} \ dt=$

$$=\displaystyle 9\int_0^\frac{\pi}{2} \dfrac{1}{2} \ dt+\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{\cos(2t)}{2} \ dt = \dfrac{9}{4}\pi+0=\dfrac{9}{4}\pi $$

Observem que, quan es té una integral d'un cosinus o sinus amb un exponent parell, aplicarem la fórmula de l'angle doble tantes vegades com sigui necessari per reduir el grau de la integral.