Integrals per canvi de variable

Aprendrem a realitzar integrals per canvi de variable. El canvi de variable és un mètode de gran utilitat a l'hora de resoldre integrals, però té la complicació que requereix "imaginació", en el sentit que, normalment, ens hem d'inventar el canvi de variable.

Començarem per integrals indefinides amb canvi de variable, per a després fer integrals definides per canvi de variable.

El canvi de variable per fer una integral consisteix a igualar una part de l'integrant a una nova variable, (la podem anomenar $t$, $u$, o com vulguem), anomenada variable auxiliar.

Després, s'ha de calcular la derivada de la variable auxiliar i realitzar les operacions necessàries, perquè ni a l'integrant ni en el diferencial, aparegui alguna expressió en termes de la variable original. A això se l'anomena canvi de variable. És a dir $$\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \ dt$$ on s'ha fet el canvi de variable $\varphi (t)=x$.

Després de fer el canvi de variable, en general, s'obtenen integrals més senzilles.

Formulari

Canvis de variable típics:

$\displaystyle \int F(ax+b) \ dx = \frac {1}{a} \int F(u) \ du$, on $u=ax+b$

$\displaystyle \int F(\sqrt{ax+b} \ dx = \frac{2}{a} \int u\cdot F(u) \ du$, on $u=\sqrt{ax+b}$

$\displaystyle \int F(\sqrt[n]{ax+b}) \ dx= \frac{n}{a} \int u^{n-1} F(u) \ du$, on $u=\sqrt[n]{ax+b}$

$\displaystyle \int F(\sqrt{a^2+b^2}) \ dx= a \int F(a\cdot \cos u ) \ du$, on $u=a\cdot\sin u$

$\displaystyle \int F(e^{ax}) \ dx = \frac{1}{a} \int \frac{F(u)}{u} \ du$, on $u=e^{ax}$

$\displaystyle \int F(\ln x) \ dx=\int F(u) e^u du$, on $u=\ln x$

Procediment a seguir

1. Decidir el canvi de variable a utilitzar ($t$ una funció de $x$).
2. Calcular $dt$ en funció de $x$ i de $dx$.
3. Substituir $t$ i $dt$ a la integral, perquè desapareguin les $x$.
4. Calculeu la integral indefinida en funció de $t$. Si no sabem com calcular-la, provar amb un altre canvi de variable o un altre mètode d'integració.
5. Tornar a substituir les $t$ per les $x$ perquè el resultat sigui en funció de $x$.

Calculeu la següent integral pel mètode del canvi de variable $$\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt[5]{x^2+2}} \ dx$$

• Farem el canvi de variable $t=x^2+2$.

• $dt$ es calcula derivant l'expressió de $t$ en funció de $x$. Però tenint en compte que en derivar $x$, ens queda $dx$ (del concepte de diferencial en el temari de derivació): $$dt=2x\cdot dx +0= 2x\cdot dx$$ i per tant $$\displaystyle x\cdot dx = \frac{dt}{2}$$

• $\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt[5]{x^2+2}} \ dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[5]{t}} \ dt $

• $\displaystyle \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[5]{t}} \ dt =\frac{1}{2} \frac{t^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}+K= \frac{5}{8} \sqrt[5]{t^4} $

• $\displaystyle \frac{5}{8} \sqrt[5]{t^4} +K = \frac{5}{8} \sqrt[5]{(x^2+2)^4}+K $

Així obtenim: $$\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt[5]{x^2+2}} \ dx = \frac{5}{8} \sqrt[5]{(x^2+2)^4}+K$$

Cal tenir en compte que aquesta integral podia realitzar-se com una integral quasi-immediata. Moltes integrals es poden resoldre de diverses formes diferents.

Calculeu la següent integral pel mètode del canvi de variable: $$\displaystyle \int \frac{1}{x^2\cdot \sqrt{4-x^2}} \ dx$$

• Mirant la integral, veiem que l'arrel té una certa semblança amb la integral de l'arc cosinus, de manera que intentarem orientar en aquest sentit. Farem primer el canvi de variable $$\displaystyle t= \frac{x}{2}$$ per eliminar el $4$ de dins de la integral.

• $\displaystyle dt=\frac{dx}{2}$

• $\displaystyle \int \frac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}} \ dx = \int \frac{2}{4t^2\sqrt{4-4t^2}} \ dt =\frac{1}{4} \int \frac{1}{t^2\sqrt{1-t^2}} \ dt$

• Per calcular la integral resultant, realitzarem un altre canvi de variable. Prendrem ara $z=\arccos t$, de manera que $t=\cos z$ i $dt =-\sin z \cdot dz$, i la integral: $$\displaystyle \int \frac{1}{t^2\sqrt{1-t^2}} \ dt = \frac{1}{4} \int \frac{-\sin z }{\cos^2 z \cdot \sqrt{1-\cos^2 z}} \ dz= \frac{1}{4} \int \frac{-\sin z}{\cos^2 z \cdot \sin z} \ dz =$$ $$= \frac{-1}{4} \int \frac{1}{\cos^2 z} \ dz= \frac{-1}{4} \cdot \tan z + K$$

• Desfem primer el canvi $z=\arccos t$ i despré $2x=t$: $$\displaystyle\frac{-1}{4} \tan z +K=-\frac{1}{4} \tan(\arccos t ) + K = -\frac{1}{4} \tan(\arccos \frac{x}{2})+K$$

Així obtenim: $$\displaystyle \int \frac{dx}{x^2\sqrt{4-x^2}} = -\frac{1}{4}\tan (\arccos\frac{x}{2})+K$$

Calculeu la següent integral pel mètode del canvi de variable: $$\displaystyle \int x \cdot e^{x^2} \ dx$$

• Farem el canvi de variable $t=x^2$.

• Tenim que $dt=2x \cdot dx$, i per tant,$\displaystyle x\cdot dx=\frac{dt}{2}$

• $\displaystyle \int x e^{x^2} \ dx = \int e^t xdx=\int e^t \ dt$

• $\displaystyle \int e^t dt = e^t +C$

• $\displaystyle \int e^t \ dt = e^t+C$

Llavors:

$$\displaystyle \int x e^{x^2} \ dx = e^{x^2}+C$$

Integrals definides per canvi de variable

Procediment a seguir:

1. Decidir el canvi de variable a utilitzar ($t$ una funció de $x$).
2. Calcular $dt$ en funció de $x$ i $dx$. Calculeu també els nous límits de l'interval d'integració en la nova variable.
3. Substituir $t$ i $dt$ a la integral, perquè desapareguin les $x$. I canviar els límits d'integració.
4. Calculeu la integral amb la nova variable, sense necessitat de desfer el canvi de variables si s'ha canviat correctament l'interval d'integració.