Integració per parts

Hem de triar una funció que sigui $u(x)$ i una altra $v(x)$, de manera que l'integrand $\ln(x)$ sigui: $\ln(x) =u (x) \cdot v' (x)$.

Escollim en aquest cas $$u=\ln(x) \ \ ; \ \ dv=1\cdot dx$$

i tenim que $$du=\dfrac{1}{x} \ \ ; \ \ v=\displaystyle\int 1\cdot \ dx=x$$

Així, aplicant la fórmula d'integració per parts, tenim:

$$\int\ln(x) \ dx=\int\ln(x)\cdot 1 \ dx = x\cdot\ln(x)-\int x\cdot\dfrac{1}{x} \ dx=$$ $$=x\cdot\ln(x)-\int 1 \ dx=x\cdot\ln(x)-x+C $$

En el cas d'integrals amb logaritmes, normalment interessa derivar el logaritme perquè després es simplifiqui, per això l'elecció de $u(x)=\ln (x)$.