Integración por partes

Tenemos que escoger una función que sea $u(x)$ y otra $v(x)$, de forma que el integrando $\ln(x)$ sea: $\ln(x) =u (x) \cdot v' (x)$.

Escogemos en este caso $$u=\ln(x) \ \ ; \ \ dv=1\cdot dx$$

y tenemos que $$du=\dfrac{1}{x} \ \ ; \ \ v=\displaystyle\int 1\cdot \ dx=x$$

Así, aplicando la fórmula de integración por partes, tenemos:

$$\int\ln(x) \ dx=\int\ln(x)\cdot 1 \ dx = x\cdot\ln(x)-\int x\cdot\dfrac{1}{x} \ dx=$$ $$=x\cdot\ln(x)-\int 1 \ dx=x\cdot\ln(x)-x+C $$

En el caso de integrales con logaritmos, normalmente interesa derivar el logaritmo para que luego se simplifique, por eso la elección de $u(x)=\ln (x)$.