Distància entre dues rectes

D'entrada, és obvi que hi hauran dues rectes paral·leles a $r$ i a una distància de $10$. Una estarà situada a un costat de $r$ i l'altra recta a l'altre costat de $r$.

Si les rectes buscades són de la forma $Ax + By + C = 0$, la condició de paral·lelisme amb $r$ ens imposa que $A =-3$ y $B = 4$. Així tenim, $$-3x + 4y + C = 0$$

Si ara imposem la condició de distància, és a dir, $d(r,s)=10$, tenim: $$d(r,s)=10=\dfrac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\dfrac{|C'-(-1)|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\dfrac{|C'+1|}{\sqrt{25}}=\dfrac{|C'+1|}{5}$$ $$|C'+1|=50$$ D'on tenim 2 solucions a causa de la presència del valor absolut: $$C'+1=50 \rightarrow C' = 49$$ $$C' + 1 = - 50 \rightarrow C' =-51$$ Així, les rectes $s$ buscades són: $$s:-3x + 4y + 49 = 0$$ $$s':-3x + 4y - 51 = 0$$