Distancia entre dos rectas

De entrada, es obvio que tendremos dos rectas paralelas a $r$ y a una distancia de $10$. Una estará situada a un lado de $r$ y la otra al otro.

Si las rectas buscadas son de la forma $Ax + By + C = 0$, la condición de paralelismo con $r$ nos impone que $A =-3$ y $B = 4$. Así tenemos, $$-3x + 4y + C = 0$$

Si ahora imponemos la condición de distancia, es decir, $d(r,s)=10$, tenemos: $$d(r,s)=10=\dfrac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\dfrac{|C'-(-1)|}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}=\dfrac{|C'+1|}{\sqrt{25}}=\dfrac{|C'+1|}{5}$$ $$|C'+1|=50$$ De donde tenemos 2 soluciones debido a la presencia del valor absoluto: $$C'+1=50 \rightarrow C' = 49$$ $$C' + 1 = - 50 \rightarrow C' =-51$$ Así, las rectas $s$ buscadas son: $$s:-3x + 4y + 49 = 0$$ $$s':-3x + 4y - 51 = 0$$