Distància entre dues rectes

La distància entre dues rectes, $r$ i $s$, és la mínima distància entre un punt qualsevol de $r$ i un punt qualsevol de $s$.

• Si les rectes són secants o coincidents, la seva distància és, evidentment, zero. És a dir, $d (r, s) = 0$.
• Si les rectes són paral·leles, la distància entre $r$ i $s$ és la distància d'un punt de qualsevol de les dues rectes a l'altra.

Per trobar l'expressió analítica de la distància de $r$ i $s$, suposarem que tenim $r: Ax + By + C = 0$ i $s: Ax + By + C' = 0$. Com que les rectes han de tenir vectors directors paral·lels, en particular podem suposar que tenen el mateix i per això $A = A'$ i $B = B'$.

Com les rectes no poden ser coincidents evidentment tindrem $C\neq C'$.

Sigui ara $P =(p_1,p_2)$ un punt pertanyent a la recta $r$. Aleshores tenim: $$\displaystyle d(r,s)=d(P,s)=\frac{|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C'|}{\sqrt{A^2+b^2}}$$ Però com $P$ pertany a la recta $r$ tenim: $$A\cdot a_1+B\cdot a_2+C=0 \Leftarrow A\cdot a_1+B\cdot a_2=-C$$ substituint, $$d(r,s)=d(P,S)=\displaystyle \frac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Calculeu la distància entre les rectes $r: 2x + 3y - 4 = 0$ i $s:-4x - 6y + 24 = 0$.

D'entrada dividim l'equació de la recta $s$ per $-2$: $$s: 2x + 3y - 12 = 0$$ Ara estem en condicions d'aplicar la fórmula: $$\displaystyle d (r, s) = d (P, s) =\frac{|C'-C|}{\sqrt{A^2+b^2}}=\frac{|-4-(-12)|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{8}{\sqrt{13}}$$