Desviació respecte a la mitjana i desviació mitjana
Es tiren $10$ vegades seguides un dau, obtenint els resultats següents: $1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6$. Calcular la desviació respecte a la mitjana de cadascuna de les tirades.
Es necessita la mitjana per poder aplicar la fórmula $D_i=x_i-\overline{x}$.
Per trobar la mitjana només cal sumar tots els termes i dividir pel nombre de llançaments: $$\overline{x}=\dfrac{1+1+1+3+3+4+4+5+6+6}{10}=\dfrac{34}{10}=3,4$$ Novament es classifiquen les desviacions en una taula, sense importar ara les freqüències:
| Resultat de la tirada | $D_i=x_i-\overline{x}=x_i-3,4$ |
| $1$ | $-2,4$ |
| $3$ | $-0,4$ |
| $4$ | $0,6$ |
| $5$ | $1,6$ |
| $6$ | $2,6$ |
Prenent per mostres $1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6$ resulta:
| Resultat de la tirada | $D_i$ |
| $1$ | $-2,4$ |
| $3$ | $-0,4$ |
| $4$ | $0,6$ |
| $5$ | $1,6$ |
| $6$ | $2,6$ |
Albert va anotar $14$ punts en el partit de bàsquet, el que suposa una desviació respecte a la mitjana del seu equip de $3,2$ punts. El seu amic Marc va anotar només $3$ punts. Calcular:
a) La mitjana d'anotació de l'equip.
b) La desviació de la puntuació de Marc respecte a la mitjana de l'equip.
a) Aplicant la fórmula $$\overline{x}=x_i-D_i=14-3,2=10,8$$ es troba la mitjana.
b) Seguidament s'aplica l'equació $$D_i=x_i-\overline{x}=3-10,8 = -7,8$$ per trobar la desviació de la puntuació de Marc respecte a la mitjana.
a) $\overline{x}=10,8$
b) $D_i=-7,8$
A continuació es mostren els resultats d'una jornada de la lliga d'handbol. Calcular l'anotació total de cada partit. Amb el resultat obtingut, calcular les desviacions de cada partit respecte a la mitjana.
| Equip | Equip | Resultats |
| Equip A | Equip B | $30-28$ |
| Equip C | Equip D | $30-28$ |
| Equip E | Equip F | $34-23$ |
| Equip G | Equip H | $37-32$ |
| Equip I | Equip J | $26-27$ |
| Equip K | Equip L | $33-27$ |
| Equip M | Equip N | $29-30$ |
Les anotacions en els partits són: $58, 58, 57, 69, 53, 60, 59$ i $57$. Es calcula la mitjana $$\overline{x}=\dfrac{58+58+57+69+53+60+59+57}{8}\simeq58,9$$ Seguidament es calculen les desviacions indicant el resultat en una taula:
| Anotació | $D_i=x_i-\overline{x}=x_i-58,9$ |
| $53$ | $-5,9$ |
| $57$ | $-1,9$ |
| $57$ | $-1,9$ |
| $58$ | $-0,9$ |
| $58$ | $-0,9$ |
| $59$ | $0,1$ |
| $60$ | $1,1$ |
| $69$ | $10,1$ |
| Anotació | $D_i$ |
| $53$ | $-5,9$ |
| $57$ | $-1,9$ |
| $57$ | $-1,9$ |
| $58$ | $-0,9$ |
| $58$ | $-0,9$ |
| $59$ | $0,1$ |
| $60$ | $1,1$ |
| $69$ | $10,1$ |
En la següent taula es mostren els resultats de llançar $20$ vegades un dau. Troba la desviació mitjana.
| $x_i$ | $f_i$ |
| $1$ | $4$ |
| $2$ | $2$ |
| $3$ | $4$ |
| $4$ | $3$ |
| $5$ | $4$ |
| $6$ | $3$ |
Afegim una columna a la taula que ajuda al càlcul de la mitjana:
| $x_i$ | $f_i$ | $x_i f_i$ |
| $1$ | $4$ | $4$ |
| $2$ | $2$ | $4$ |
| $3$ | $4$ | $12$ |
| $4$ | $3$ | $12$ |
| $5$ | $4$ | $20$ |
| $6$ | $3$ | $18$ |
| $70$ |
Trobem llavors la mitjana $\overline{x}=\dfrac{70}{20}=3,5$, i calculem les dues columnes que simplifiquen el càlcul de la desviació mitjana:
| $x_i$ | $f_i$ | $x_i f_i$ | $|x_i-\overline{x}|$ | $|x_i-\overline{x}|\cdot f_i$ |
| $1$ | $4$ | $4$ | $2,5$ | $10$ |
| $2$ | $2$ | $4$ | $1,5$ | $3$ |
| $3$ | $4$ | $12$ | $0,5$ | $2$ |
| $4$ | $3$ | $12$ | $0,5$ | $1,5$ |
| $5$ | $4$ | $20$ | $1,5$ | $6$ |
| $6$ | $3$ | $18$ | $2,5$ | $7,5$ |
| $70$ | $30$ |
La desviació mitjana és llavors: $D_{\overline{x}}=\dfrac{30}{20}=1,5$.
$$D_{\overline{x}}=1,5$$
Es mesura l'altura dels alumnes de la classe, agrupant els resultats en la següent taula. Calcula la desviació mitjana.
| $x_i$ | $f_i$ | |
| $[140, 155)$ | $147,5$ | $3$ |
| $[155,165)$ | $160$ | $6$ |
| $[165,175)$ | $170$ | $17$ |
| $[175,190)$ | $182,5$ | $5$ |
S'omple la taula per facilitar el càlcul de la mitjana i de la desviació mitjana:
| $x_i$ | $f_i$ | $x_i f_i$ | $|x_i-\overline{x}|$ | $|x_i-\overline{x}|\cdot f_i$ | |
| $[140, 155)$ | $147,5$ | $3$ | $442,5$ | ||
| $[155,165)$ | $160$ | $6$ | $960$ | ||
| $[165,175)$ | $170$ | $17$ | $2890$ | ||
| $[175,190)$ | $182,5$ | $5$ | $912,5$ | ||
| $5205$ |
Per a poder omplir les dues últimes columnes es calcula la mitjana $\overline{x}=\dfrac{5205}{31}=167,9$
| $x_i$ | $f_i$ | $x_i f_i$ | $|x_i-\overline{x}|$ | $|x_i-\overline{x}|\cdot f_i$ | |
| $[140, 155)$ | $147,5$ | $3$ | $442,5$ | $20,4$ | $61,2$ |
| $[155,165)$ | $160$ | $6$ | $960$ | $7,9$ | $47,4$ |
| $[165,175)$ | $170$ | $17$ | $2890$ | $2,1$ | $35,7$ |
| $[175,190)$ | $182,5$ | $5$ | $912,5$ | $14,6$ | $73$ |
| $5205$ | $217,3$ |
Es troba llavors la desviació mitjana $D_{\overline{x}}=\dfrac{217,3}{31}=7,01$.
$$D_{\overline{x}}=7,01$$
En la següent taula es mostra la classificació final de la Conferència Est de l'NBA. Trobeu la desviació mitjana del nombre de victòries aconseguides a la temporada.
Es calcula primer la mitjana $$\overline{x}=\dfrac{65+54+54+54+53+50+49+48+46+29+24+24+23+19+17}{15}=$$ $$=\dfrac{609}{15}=40,6$$
Es troba llavors la desviació mitjana: $$D_{\overline{x}}=\dfrac{|65-40,6|+|54-40,6|+|54-40,6|+|54-40,6|+|53-40,6|+|50-40,6|}{15}+$$ $$+\dfrac{|49-40,6|+|48-40,6|+|46-40,6|+|29-40,6|+|24-40,6|+|24-40,6|}{15}+$$ $$+\dfrac{|23-40,6|+|19-40,6|+|17-40,6|}{15}=$$ $$=\dfrac{24,4+13,4+13,4+13,4+12,4+9,4+8,4+7,4+5,4+11,6+16,6+16,6}{15} $$ $$+\dfrac{17,6+21,6+23,6}{15}=\dfrac{215,2}{15}\simeq14,35$$
$$D_{\overline{x}}\simeq 14,35$$