Desviación respecto a la media y desviación media
Se tiran $10$ veces seguidas un dado, obteniendo los resultados siguientes: $1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6$. Calcular la desviación respecto a la media de cada una de las tiradas.
Se necesita la media para poder aplicar la fórmula $D_i=x_i-\overline{x}$.
Para encontrar la media basta con sumar todos los términos y dividir por el número de lanzamientos: $$\overline{x}=\dfrac{1+1+1+3+3+4+4+5+6+6}{10}=\dfrac{34}{10}=3,4$$ Nuevamente se clasifican las desviaciones en una tabla, sin importar ahora las frecuencias:
| Resultado de la tirada | $D_i=x_i-\overline{x}=x_i-3,4$ |
| $1$ | $-2,4$ |
| $3$ | $-0,4$ |
| $4$ | $0,6$ |
| $5$ | $1,6$ |
| $6$ | $2,6$ |
Tomando por muestras $1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6$ resulta:
| Resultado de la tirada | $D_i$ |
| $1$ | $-2,4$ |
| $3$ | $-0,4$ |
| $4$ | $0,6$ |
| $5$ | $1,6$ |
| $6$ | $2,6$ |
Albert anotó $14$ puntos en el partido de baloncesto, lo que supone una desviación respecto a la media de su equipo de $3,2$ puntos. Su amigo Marc anotó sólo 3 puntos. Calcular:
a) La media de anotación del equipo.
b) La desviación de la puntuación de Marc respecto a la media del equipo.
a) Aplicando la fórmula $$\overline{x}=x_i-D_i=14-3,2=10,8$$ se halla la media.
b) Seguidamente se aplica la ecuación $$D_i=x_i-\overline{x}=3-10,8 = -7,8$$ para hallar la desviación de la puntuación de Marc respecto a la media.
a) $\overline{x}=10,8$
b) $D_i=-7,8$
A continuación se muestran los resultados de una jornada de la liga de balonmano. Calcular la anotación total de cada partido. Con el resultado obtenido, calcular las desviaciones de cada partido respecto a la media.
| Equipo | Equipo | Resultados |
| Equipo A | Equipo B | $30-28$ |
| Equipo C | Equipo D | $30-28$ |
| Equipo E | Equipo F | $34-23$ |
| Equipo G | Equipo H | $37-32$ |
| Equipo I | Equipo J | $26-27$ |
| Equipo K | Equipo L | $33-27$ |
| Equipo M | Equipo N | $29-30$ |
Las anotaciones en los partidos són: $58, 58, 57, 69, 53, 60, 59$ and $57$. Se calcula la media $$\overline{x}=\dfrac{58+58+57+69+53+60+59+57}{8}\simeq58,9$$ Seguidamente se calculan las desviaciones indicando el resultado en una tabla:
| Anotación | $D_i=x_i-\overline{x}=x_i-58,9$ |
| $53$ | $-5,9$ |
| $57$ | $-1,9$ |
| $57$ | $-1,9$ |
| $58$ | $-0,9$ |
| $58$ | $-0,9$ |
| $59$ | $0,1$ |
| $60$ | $1,1$ |
| $69$ | $10,1$ |
| Anotación | $D_i$ |
| $53$ | $-5,9$ |
| $57$ | $-1,9$ |
| $57$ | $-1,9$ |
| $58$ | $-0,9$ |
| $58$ | $-0,9$ |
| $59$ | $0,1$ |
| $60$ | $1,1$ |
| $69$ | $10,1$ |
En la siguiente tabla se muestran los resultados de lanzar $20$ veces un dado. Hallar la desviación media.
| $x_i$ | $f_i$ |
| $1$ | $4$ |
| $2$ | $2$ |
| $3$ | $4$ |
| $4$ | $3$ |
| $5$ | $4$ |
| $6$ | $3$ |
Añadir una columna a la tabla que ayude al cálculo de la media:
| $x_i$ | $f_i$ | $x_i f_i$ |
| $1$ | $4$ | $4$ |
| $2$ | $2$ | $4$ |
| $3$ | $4$ | $12$ |
| $4$ | $3$ | $12$ |
| $5$ | $4$ | $20$ |
| $6$ | $3$ | $18$ |
| $70$ |
Hallar entonces la media $\overline{x}=\dfrac{70}{20}=3,5$, y encontrar las dos columnas que simplifican el cálculo de la desviación media:
| $x_i$ | $f_i$ | $x_i f_i$ | $|x_i-\overline{x}|$ | $|x_i-\overline{x}|\cdot f_i$ |
| $1$ | $4$ | $4$ | $2,5$ | $10$ |
| $2$ | $2$ | $4$ | $1,5$ | $3$ |
| $3$ | $4$ | $12$ | $0,5$ | $2$ |
| $4$ | $3$ | $12$ | $0,5$ | $1,5$ |
| $5$ | $4$ | $20$ | $1,5$ | $6$ |
| $6$ | $3$ | $18$ | $2,5$ | $7,5$ |
| $70$ | $30$ |
La desviación media resulta entonces: $D_{\overline{x}}=\dfrac{30}{20}=1,5$.
$$D_{\overline{x}}=1,5$$
Se mide la altura de los alumnos de la clase, agrupando los resultados en la siguiente tabla. Calcular entonces la desviación media.
| $x_i$ | $f_i$ | |
| $[140, 155)$ | $147,5$ | $3$ |
| $[155,165)$ | $160$ | $6$ |
| $[165,175)$ | $170$ | $17$ |
| $[175,190)$ | $182,5$ | $5$ |
Se rellena la tabla para facilitar el cálculo de la media y de la desviación media:
| $x_i$ | $f_i$ | $x_i f_i$ | $|x_i-\overline{x}|$ | $|x_i-\overline{x}|\cdot f_i$ | |
| $[140, 155)$ | $147,5$ | $3$ | $442,5$ | ||
| $[155,165)$ | $160$ | $6$ | $960$ | ||
| $[165,175)$ | $170$ | $17$ | $2890$ | ||
| $[175,190)$ | $182,5$ | $5$ | $912,5$ | ||
| $5205$ |
Para poder rellenar las $2$ últimas columnas se calcula la media $\overline{x}=\dfrac{5205}{31}=167,9$
| $x_i$ | $f_i$ | $x_i f_i$ | $|x_i-\overline{x}|$ | $|x_i-\overline{x}|\cdot f_i$ | |
| $[140, 155)$ | $147,5$ | $3$ | $442,5$ | $20,4$ | $61,2$ |
| $[155,165)$ | $160$ | $6$ | $960$ | $7,9$ | $47,4$ |
| $[165,175)$ | $170$ | $17$ | $2890$ | $2,1$ | $35,7$ |
| $[175,190)$ | $182,5$ | $5$ | $912,5$ | $14,6$ | $73$ |
| $5205$ | $217,3$ |
Se halla entonces la desviación media $D_{\overline{x}}=\dfrac{217,3}{31}=7,01$.
Con los valores tomados se encuentra $D_{\overline{x}}=7,01$
En la siguiente tabla se muestra la clasificación final de la Conferencia Este de la NBA. Hallar la desviación media del número de victorias logradas en la temporada.
Se calcula primero la media $$\overline{x}=\dfrac{65+54+54+54+53+50+49+48+46+29+24+24+23+19+17}{15}=$$ $$=\dfrac{609}{15}=40,6$$
Se halla entonces la desviación media: $$D_{\overline{x}}=\dfrac{|65-40,6|+|54-40,6|+|54-40,6|+|54-40,6|+|53-40,6|+|50-40,6|}{15}+$$ $$+\dfrac{|49-40,6|+|48-40,6|+|46-40,6|+|29-40,6|+|24-40,6|+|24-40,6|}{15}+$$ $$+\dfrac{|23-40,6|+|19-40,6|+|17-40,6|}{15}=$$ $$=\dfrac{24,4+13,4+13,4+13,4+12,4+9,4+8,4+7,4+5,4+11,6+16,6+16,6}{15} $$ $$+\dfrac{17,6+21,6+23,6}{15}=\dfrac{215,2}{15}\simeq14,35$$
$$D_{\overline{x}}\simeq 14,35$$