- Inicio
- Estadística
- Desviació respecte a la mitjana i desviació mitjana
Desviació respecte a la mitjana i desviació mitjana
Desviació respecte a la mitjana
Com el seu nom indica, la desviació respecte a la mitjana dóna informació de la proximitat de les dades del conjunt. Intuïtivament, ja es veu que es pot calcular com la diferència entre una dada i la mitjana de les dades:: $$D_i=x_i-\overline{x}$$
Es pot observar que per a calcular aquesta desviació, si es disposa de la mitjana, només es requereix aquell valor la desviació del qual es vol calcular.
També cal comentar que tenint una de les dades i la seva desviació respecte a la mitjana, es pot aclarir la mitjana aplicant una simple resta:
$$\overline{x}=x_i-D_i$$
i posteriorment utilitzar-la per calcular les altres desviacions.
A l'examen de matemàtiques, en Pere ha tret un $9$, la mitjana de la classe és de $6.7$. Calcular la desviació respecte a la mitjana de la nota d'en Pere.
Aplicant la fórmula:
$$D_i=x_i-\overline{x}=9-6.7=2.3$$
El signe de la desviació respecte a la mitjana indica si el valor està per sobre de la mitjana (signe positiu), o per sota de la mitjana (signe negatiu).
El valor absolut de la desviació respecte a la mitjana indica fins on hi ha el valor de la mitjana. Un valor igual a zero indica que el valor coincideix amb la mitjana, mentre que un valor elevat respecte a les altres desviacions informa que la dada està allunyada de les altres dades.
En un partit de bàsquet, es té la següent anotació en els jugadors d'un equip: $0, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 15, 38$. Calcular la desviació respecte a la mitjana de les puntuacions dels jugadors de l'equip.
Aplicant la fórmula:
$$\displaystyle \overline{x}=\frac{0+2+4+5+8+10+10+15+38}{9}=\frac{92}{9}=10.22$$
s'obté la mitjana. Les desviacions es poden representar en una taula:
| Puntuació | $D_i=x_i-\overline{x}=x_i-10.22$ |
| $0$ | $-10.22$ |
| $2$ | $-8.22$ |
| $4$ | $-6.22$ |
| $5$ | $-5.22$ |
| $8$ | $-2.22$ |
| $10$ | $-0.22$ |
| $10$ | $-0.22$ |
| $15$ | $4.78$ |
| $38$ | $27.78$ |
A la següent taula es mostren les notes d'en Joan als exàmens de matemàtiques durant l'any. Calcular les diferents desviacions respecte a la mitjana.
| Nota | $f_i$ |
| $3$ | $1$ |
| $4$ | $3$ |
| $5$ | $4$ |
| $6$ | $2$ |
| $7$ | $3$ |
| $9$ | $1$ |
Primer es calcula la mitjana:
$$\displaystyle \overline{x}=\frac{3\cdot 1+4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 2+7\cdot 3+9\cdot 1}{1+3+4+2+3+1}=\frac{77}{14}=5.5$$
Seguidament, ja es pot calcular la desviació respecte a la mitjana, incloent a la taula:
<table">
Desviació mitjana
La desviació mitjana és la mitjana aritmètica dels valors absoluts de les desviacions respecte a la mitjana. Es simbolitza per $D_{\overline{x}}$ i es calcula aplicant la fórmula:
$$\displaystyle D_{\overline{x}}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{N} |x_i-\overline{x}|}{N}=\frac{|x_1-\overline{x}|+|x_2-\overline{x}|+\ldots+|x_N-\overline{x}|}{N}$$
Informa de com estan de disperses (o no) les dades. Una desviació mitjana elevada implica molta variabilitat en les dades, mentre que una desviació mitjana igual a zero implica que tots els valors són iguals i per tant coincideixen amb la mitjana.
Els resultats d'en Jordi a dibuix tècnic al llarg del curs són els següents: $8, 7, 9, 8, 8, 10, 9, 7, 4, 9$. Calculeu la desviació mitjana.
El primer pas consisteix a trobar la mitjana:
$$\displaystyle \overline{x}=\frac{8+7+9+8+8+10+9+7+4+9}{10}=\frac{79}{10}=7.9$$
Seguidament s'aplica la definició:
$$\displaystyle D_{\overline{x}}=\frac{|8-7.9|+|7-7.9|+|9-7.9|+|8-7.9|+|8-7.9|+}{10}=\frac{+|10-7.9|+|9-7.9|+|7-7.9|+|9-7.9|}{10}=\\=\frac{0.1+0.9+1.1+0.1+0.1+2.1+1.1+0.9+3.9+1.1}{10}=\frac{11.4}{10}=1.14$$
En un partit de bàsquet, es té la següent anotació en els jugadors d'un equip: $0, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 15, 38$. Calculeu la desviació mitjana de les puntuacions dels jugadors de l'equip.
Aplicant la fórmula:
$$\displaystyle \overline{x}=\frac{0+2+4+5+8+10+10+15+38}{9}=\frac{92}{9}=10.22$$
s'obté la mitjana. Les desviacions es poden representar en una taula:
| Puntuació | $D_i=x_i-\overline{x}-10,22$ |
| $0$ | $-10.22$ |
| $2$ | $-8.22$ |
| $4$ | $-6.22$ |
| $5$ | $-5.22$ |
| $8$ | $-2.22$ |
| $10$ | $-0.22$ |
| $10$ | $-0.22$ |
| $15$ | $4.78$ |
| $38$ | $27.78$ |
Aplicant la fórmula:
$$\displaystyle D_{\overline{x}}=\frac{10.22+8.22+6.22+5.22+2.22+0.22+0.22+4.78+27.78}{9}=\frac{65.1}{9}=7.23$$
s'obté la desviació mitjana.
Càlcul de la desviació mitjana per dades agrupades
Si les $N$ dades s'agrupen en $n$ classes s'aplica la fórmula:
$$\displaystyle D_{\overline{x}}=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n |x_i-\overline{x}| f_i}{N}=\frac{|x_1- \overline{x}|f_1+|x_2- \overline{x}|f_2+\ldots+|x_n- \overline{x}|f_n}{N}$$
L'alçada en cm dels jugadors d'un equip de bàsquet està en la següent taula. Calculeu la desviació mitjana.
| $x_i$ | $f_i$ | |
| $[160,170)$ | $165$ | $1$ |
| $[170,180)$ | $175$ | $2$ |
| $[180,190)$ | $185$ | $4$ |
| $[190,200)$ | $195$ | $3$ |
| $[200,210)$ | $205$ | $2$ |
Primer de tot s'ompla la següent taula:
| $x_i$ | $f_i$ | $x_if_i$ | $|x_i-\overline{x}|$ | $|x_i-\overline{x}|f_i$ | |
| $[160,170)$ | $165$ | $1$ | $165$ | $22.5$ | $22.5$ |
| $[170,180)$ | $175$ | $2$ | $350$ | $12.5$ | $25$ |
| $[180,190)$ | $185$ | $4$ | $740$ | $2.5$ | $10$ |
| $[190,200)$ | $195$ | $3$ | $585$ | $7.5$ | $22.5$ |
| $[200,210)$ | $205$ | $2$ | $410$ | $17.5$ | $35$ |
| $12$ | $2250$ | $115$ |
Es calcula la mitjana $\overline{x}=\displaystyle\frac{2250}{12}=187.5$ per poder omplir les dues últimes columnes.
Es calcula finalment la desviació mitjana:
$$\displaystyle D_{\overline{x}}=\frac{115}{12}=9.58$$.