Relacions trigonomètriques per a un mateix angle
Sabent que $\tan(\alpha)=2$ i que $0 < \alpha < 90^\circ$, calcular la resta de raons trigonomètriques.
Utilitzant la següent relació, podem trobar el cosinus d'aquest angle: $$1+\tan^2(\alpha)=\dfrac{1}{\cos^2(\alpha)} \Rightarrow \cos^2(\alpha)=\dfrac{1}{1+\tan^2(\alpha)}$$ Substituint en el nostre cas, obtenim: $$\cos^2(\alpha)=\dfrac{1}{1+\tan^2(\alpha)}=\dfrac{1}{1+2^2}=\dfrac{1}{5} \Rightarrow \cos(\alpha)=\pm\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$
A partir de la següent relació tenim: $$\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1 \Rightarrow \sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)$$ Substituint en el nostre cas: $$\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5-1}{5}=\dfrac{4}{5} \Rightarrow \sin(\alpha)=\pm\sqrt{\dfrac{4}{5}}=\pm\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\pm\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$$ Tenint en compte que $0 < \alpha < 90^\circ$, el cosinus i el sinus prenen valors positius. Per tant la solució correcta resulta de prendre les determinacions positives.
$$\sin(\alpha)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$$
$$\cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$$