Relacions trigonomètriques per a un mateix angle

Coneguda certa raó trigonomètrica d'un angle, es pot calcular fàcilment la resta mitjançant les següents relacions:

1. $\sin^2 \alpha +\cos ^2 \alpha =1$
2. $\displaystyle 1+\tan^2 \alpha=\frac{1}{\cos ^2\alpha}= \sec^2 \alpha$

D'aquesta manera si, per exemple, volem conèixer les raons trigonomètriques d'un angle $\alpha$, només ens cal conèixer una d'elles i el quadrant on pertany l'angle.

Suposem que tenim un angle $\alpha$ del que sabem que $\sin\alpha =\displaystyle \frac{1}{2}$ i que pertany al primer quadrant, calcular la seva tangent i el seu cosinus és fàcil.

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1 \Rightarrow \displaystyle \frac{1}{4}+\cos^2 \alpha =1 \Rightarrow \cos^2=\frac{3}{4} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$1+\tan^2\alpha =\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha }\Rightarrow \tan^2 \alpha =\frac{1}{\frac{3}{4}}-1=\frac{4}{3}-1 =\frac{1}{3} \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{\frac{1}{3}} =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$